Braucht man auch einen Schufa Nachweis wenn die Wohnung sowieso vom Amt bezahlt wird?

In aller Regel ja. Auch wenn die Miete Jemand anderes trägt, sagt die Schufa trotzdem was über Zuverlässigkeit der Person aus

Das der Interessent Leistungen vom Amt bezieht sagt ja nichts darüber ob er ein zuverlässiger Mieter wäre.