Bedingungen erfüllen, Steckbriefaufgaben?
Hallo :-)
Ich bin zurzeit die Aufgabe b) am rechnen und hätte paar Fragen:
1) Ich habe 4 Bedingungen,die zu erfüllen sind. Darf ich dann die Punkte S und C auch benutzen, obwohl sie nicht am Verlauf der Umgehungsstraße beteiligt sind?
2) wenn sich die erste Frage geklärt hat, sollte ich zunächst alleine klarkommen.
1 Antwort
Hallo,
die Punkte S und C mußt Du sogar verwenden:
Die Umgehungsstraße soll ohne Knick in die geraden Straßen einmünden. Ohne Knick bedeutet auf mathematisch, daß an den gemeinsamen Punkten eine gemeinsame Steigung vorhanden ist.
Du mußt also zunächst die Steigungen der beiden Geraden ermitteln, indem Du die Differenz der y-Koordinaten zweier Punkte durch die Differenz der x-Koordinaten teilst:
Für den Westring bedeutet dies:
(3-0)/[0-(-1)]=3/1=3. Hier hast Du also durchgehend (es handelt sich um eine Gerade) die Steigung 3.
Pöppinghauser Straße:
(3-4)/(2-0)=-1/2
Steigung hier also -0,5
Für die gesuchte Funktionsgleichung der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d und ihrer Ableitung f'(x)=3ax²+2bx+c bedeutet dies, daß Du alle vier Bedingungen beisammen hast:
Die beiden Punkte A und B setzt Du direkt in f(x) ein.
Die x-Werte der beiden Punkte setzt Du in die Ableitung ein, wobei Du als y-Wert die jeweiligen Steigungen der Geraden nimmst.
Du hast also f(-1)=0; f(2)=3; f'(-1)=3; f'(2)=-0,5
Daraus kannst Du vier Gleichungen aufstellen und a, b, c und d berechnen.
Herzliche Grüße,
Willy
Das Gleichungssystem stimmt.
Lösen tust Du es z.B. über das Gauß-Verfahren.
In Zeile 3 und 4 mußt Du für d noch eine 0 setzen.
Du kannst dann folgende Matrix bilden:
-1 1 -1 1| 0
8 4 2 1| 3
3 -2 1 0| 3
12 4 1 0| -0,5
Wenn Du nun Gleichung II von Gleichung I abziehst, hast Du in der rechten Spalte schon mal drei Nullen.
Dann verrechnest Du die Gleichungen II und III, sowie II und IV so miteinander, daß auch in Gleichung III und IV, Spalte 3, zwei Nullen stehen,
schließlich noch Gleichung III und IV, so daß in Spalte 2, Gleichung IV eine Null ist.
Das Ergebnis sind in Gleichung IV drei Nullen, so daß a bestimmt werden kann. Einsetzen von a in Gleichung III bringt b, Einsetzen von a und b in Gleichung II ergibt c, Einsetzen von a,b,c in I ergibt d.
Mit einem bißchen Übung geht das recht fix, Du darfst Dich nur nicht mit den Vorzeichen vertun.
Willy
Dann hätte ich das folgende Gleichungssystem:
-1a + 1b - 1c + 1d = 0 ||
8a + 4b + 2c + 1d = 3 ||
3a - 2b + 1c = 3 ||
12a + 4b + 1c = -0,5 ||
Habe schon so oft versucht die Variablen zu eliminieren, nur leider bin ich jedes Mal gescheitert.