Aussagenlogik Negationen?
Wie verändert sich eine Aussage - die immer falsch ist - wenn ich sie negiere?
Vor allem was passiert in Wahrheitstabellen bei einer Negation? Muss Ich einfach alle Wahrheitswerte umkehren?
Weil z.B. wenn gilt: A = "Nächste Woche regnet es jeden Tag" , dann ist ja die Negation von A : "Nächste Woche regnet es an mind. einem Tag nicht"
Danke für eure Hilfe!
4 Antworten
¬(∀x∈X: A(x)) ⇔ ∃x∈X: ¬A(x)
Bei der Negation werden "für alle" und "es existiert" vertauscht und die Negation weitergeschoben.
"Nächste Woche regnet es jeden Tag" bedeutet nichts weiter als "am Montag regnet es" und "am Dienstag regnet es" und ... und "am Sonntag regnet es". Nach der De Morganschen Regel werden bei Negation "und" und "oder" vertauscht. Die Negation ist also "am Montag regnet es nicht" oder "am Dienstag regnet es nicht" oder ... oder "am Sonntag regnet es nicht". Also: "Nächste Woche regnet es an mind. einem Tag nicht"
| Regen | und | | kein Regen | oder |
| (f,f,...,f) | f | | (w,w,...,w) | w |
| (f,f,...,w) | f | | (w,w,...,f) | w |
|... | ... | | ... | ... |
| (w,w,...,f) | f | | (f,f,...,w) | w |
| (w,w,...,w) | w | | (f,f,...,f) | f |
Die Wahrheitstabelle besteht aus 2⁷ Zeilen für jede der Möglichkeiten an welchen Tagen es regnet. "und" bezieht sich auf "Regen" und "oder" bezieht sich auf "kein Regen".
Dies würde auch bei unendlich vielen Zeilen gelten, man kann es dann nur nicht mehr so hinschreiben. Man hat im Wesentlichen aber nur drei Fälle: Immer f, immer w und gemischt.
| und | nicht | oder(nicht) |
nur f | f | nur w | w |
f und w | f | f und w | w |
nur w | w | nur f | f |
Negation arbeitet eigentlich immer binär.
Die genaue Negation von "Nächste Woche regnet es jeden Tag" lautet
Nicht("Nächste Woche regnet es jeden Tag.")
In normaler Sprache
"Nächste Woche regnet es nicht jeden Tag."
Deine Formulierung ist nicht falsch, aber aus einer Allaussage eine Existenzaussage zu machen ist schon eine Transformationsleistung. Es ist quasi schon eine Schlussfolgerung, dass es bei Negation (mindestens) einen Tag geben muss, an dem die Aussage nicht gilt.
Aussage - die immer falsch ist - negieren:
=> es gibt mindestens EINEN Fall, bei dem die Aussage richtig ist.
Vorgehensweise:
- Du musst den Sachverhalt umkehren, also "regnen" => "nicht regnen"
- Aus "immer" wird "mind. einmal"
A immer falsch
......
Es ist nicht der Fall, dass A immer falsch ist