Aus einer zerbrochene Platte, eine möglichst große rechteckige Tischplatte erstellen?
Hallo, Die Aufgabe: Johann muss bei der Gesellenprüfung zum Steinmetz folgende Aufgabe bearbeiten: "Von einer rechteckigen Sandsteinplatte mit den Maßen 150 cm x 100cm x 6cm (Länge x Breite x Tiefe) ist durch einen Transportunfall eine Ecke abgebrochen. Die Bruchstelle wurde bereits etwas begradigt. Erstellen Sie aus dieser Platte eine möglichst große rechteckige Tischplatte.
Also ich habe jetzt die Gleichung aufgestellt: A= a * b
A= (150-x) * (25+1,5x)
Jetzt bin ich mir unsicher was ich machen soll, um eine möglichst große rechteckige Platte zu berechnen. Müsste ich die Klammer auflösen, indem ich multipliziere? Dann hätte ich ja eine Funktion 2. Grades und müsste den Hochpunkt berechnen. Und dann???
Wie genau berechne ich die Aufgabe?
2 Antworten
Hallo NinaGirl99
Die aufgestellte Gleichung scheint mir richtig zu sein. Diese Gleichung muss man jetzt tatsächlich ausmultiplizieren und erhält:
A = 3750 + 200x - 1,5x²;
Der Hochpunkt liegt da, wo die erste Ableitung nach x gleich Null ist und die zweite Ableitung negativ ist.:
A' = dA/dx = 200 - 3x = 0; ---> x = 200/3 = 66,7;
A'' = -3; also negativ, also liegt hier ein Hochpunkt vor.
Damit errechnet sich (rein theoretisch) eine maximale Plattenfläche von
A = (150-66,7)*(25+1,5*66,7) = 83,3*125 = 10413 cm² = 1,0413m².
Aber: x = 66,7 liegt außerhalb des Plattenbereichs. x darf maximal gleich 50 sein. Daraus folgt, dass die maximal erreichbare Plattenfläche bei x = 50 liegt, also 100cm*100cm = 10000 cm² = 1 m² beträgt.
Es grüßt HEWKLDOe.
Hallo gmmstfl123
Ich habe jetzt auch erst einmal selbst gegrübelt und gesehen, dass ich damals vor zwei Jahren fälschlicherweise den Ansatz A = (150 - x)(25 + 1,5x) für richtig gehalten habe. Das Problem ist, dass aus dem Bild der Platte nicht ersichtlich ist, wie die abgebrochene und "etwas begradigte Ecke" genau aussieht.
Wenn man unterstellt, dass von der ursprünglichen intakten Ecke aus sowohl in Richtung der Länge wie auch in Richtung der Breite jeweils 25cm verloren gegangen sind, die Begradigungskante also unter 45° zur Längs- und zur Breitseite verläuft, dann kann man folgende Rechnung aufstellen:
Man legt (gedanklich) die beschädigte Platte so in ein Koordinatensystem, dass die Ecke, die der beschädigten Ecke gegenüber liegt, im Koordinatenursprung O(0I0) liegt, Die unbeschädigte Längsseite liegt auf der x-Achse, die unbeschädigte Breitseite liegt auf der y-Achse. Am besten zur Verdeutlichung Skizze anfertigen.
Nun stellt man die Gleichung für die Begradigungskante auf. Diese geht, wie man aus der Skizze entnehmen kann, durch die Punkte A(150I75) und B(125I100) und ist folglich nur im Bereich 125 =< x <= 150 definiert. Die allgemeine Form dieser Geraden ist y = mx + t. Die Punkte A und B eingesetzt ergibt: 75 = 150m + t und 100 = 125m + t. Daraus folgt m = -1 und t = 225. Die Begradigungskante folgt also der Gleichung y = -x +225.
Damit kann man die Fläche A der daraus herstellbaren rechteckigen Platte ausdrücken.: A = x*(-x + 225) = -x² + 225x.
Das Maximum von A erhält man für das x, bei dem die Ableitung A' gleich Null ist: A' = 0 = -2x + 225. Daraus folgt x = 225/2 = 112,5. Dieses x liegt aber außerhalb des Definitionsbereichs (siehe oben), so dass man hier die Fläche an den beiden Enden des Definitionsbereichs berechnen und vergleichen muss.
Für x = 150 erhält man die Fläche A = 150(-150 + 225) = 150*75 = 11250 (cm²).
Für x =125 erhält man die Fläche A = 125(-125 + 225) = 125*100 = 12500 (cm²)
Die größte Fläche für die rechteckige Restplatte erhält man also, wenn man die Länge um die 25 cm verkürzt.
Es grüßt HEWKLDOe.
Vielen Dank für die schnelle Antwort, und dass du dich nochmal für mich reingelesen hast!
Ich kann leider das Bild nicht laden und weiß nicht wie die Funktion der Bruchstellen ist.
Hier habe ich aber die selbe Aufgabe mit einer Scheibe a=6cm b=3cm
Funktion der Bruchstelle y=f(x)=-1*x^2+4 diese Ecke ist aus der rechteckigen Scheibe (A=a*b=6cm*3cm) ausgebrochen.
Gesucht maximale rechteckige Fläche,die noch aus den Rest der Scheibe herausgeschnitten werden kann.
1. Schritt: ein x-y-Koordinatensystem zeichnen.
2. " : die Funktion y=f(x)=-x^2+4 einzeichnen
3. " Die Scheibe einzeichnen mit x=0 y=a=6cm und xmax=3cm
Hauptgleichung ist A=a*b=y*x=f(x)*x (Hauptbedingung)
aus der Zeichnung entnehmen wir y=f8x)=6cm-f(x) und b=x=(3cm-x)
eingesetzt A(x)=(6-(-x^2+4)*(3-x)=-x^3+3*x^2+6
wir haben nun eine Gleichung mit einer "unabhängigen" Variable x
A(x)=....
nun eine Kurvendiskussion durchführen
ableiten A´(x)=0=-3*x^2+6*x-2 Nullstellen bei x1=0,4125 und x2=1,5773
noch mal ableiten A´´(x)=-6*x+6
Bedingung für ein "Maximum" ist f´(x)=0 und f´´(x)<0
A´´(1,5..)=-6*1,5..+6<0 also bei x2=1,5773 cm ist ein "Maximum"
Kannst du mir bitte verraten wie man darauf kommt, dass der Definitionsbereich bei 0;50 liegt, sodass x=66,7 außerhalb des Bereiches liegt? Die Lösung verstehe ich aber wie bestimmt man den Definitionsbereich?? Hänge total an der Aufgabe fest..