Abstand zweier Ebenen in der Koordinatenform?

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2 Antworten

hm, also direkt aus der Koordinatenform könnte ich da nicht viel ableiten.
Ich würd eher mit ein paar Tricks das mal in eine Parameterform umformen:

Ich definiere: t=x1,s=x2 und x3=-2x1+2x2= -2t+2s
Das vektoriell geschrieben ist

(x1,x2,x3)=(t,s,-2t+2s)=t*(1,0, -2)+s*(0,1,+2)
Wenn du dir das überlegst, sind nun v=(1,0, -2), w= (0,1, +2) die Vektoren, die in der ebene liegen.
Ein stützvektor ist nicht gegeben weshalb die ebene offenbar durch den Punkt (0,0,0)

 läuft.

Nun willst du eine Ebene mit Abstand 7.
Jetzt würd ich mir mal mit n=w x v einen Normalenvektor senkrecht zur ebene basteln.
Dann N=k*n so basteln dass |N|=7 (sprich: der senkrechte Abstand der 2 ebenen soll gleich 7 sein.) dazu setzt du einfach |N|=k*|n|=7, bestimmst k, setzt k ein um N zu erhalten.

Dann ist deine ebene 2 (die gesucht ist)
h(t,s)=N+t*v+s*w
also letztlich deine erste Ebene mit dem Vektor N verschoben.

das hauptsächlich schwierige ist die umstellung in Parameterform deiner ersten ebene.
Und das aufstellen und skalieren (sehr wichtig, nicht vergessen!) des stützvektors der 2 Ebene.

Das ist mal der weg wie ich als Jemand, der sowas schon seit Längerem nicht mehr gerechnett hat, das lösen würde.

Gibt sicherlich direktere Wege, aber funktionieren tut es auf jeden fall

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Hallo,

Hessesche Normalenform:

e=n0*Q-n0*P

e=7

n0=(2/-2/1)*1/3 (also n geteilt durch seinen Betrag)

P ist irgendein Punkt aus 2x-2y+z=0, etwa (1/1/0)

Q ist ein Punkt aus der gesuchten Ebene it den Koordinaten x/y/z

Also:

2/3x-2/3y+1/3z-(2/3-2/3)=7

2/3x-2/3y+1/3z=7

2/3*(x-y+1/2z)=7

x-y+1/2z=21/2

2x-2y+z=21

Das ist die gesuchte Ebene, die den Abstand 7 besitzt.

Herzliche Grüße,

Willy

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