Wie kommt man auf den Konvergenzradius dieser Potenzreihe?
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Mathematik
Hallo,
die Formel lautet r=lim (n gegen unendlich) |a[n]/a[n+1]|, wobei die eckigen Klammern einfach nur zur Kennzeichnung der Indizes gelten sollen, die ich hier nicht verkleinert schreiben kann.
Du teilst also [3^k*(k!)²]/(2k)! durch den Bruch, den Du erhältst, wenn Du anstelle von k den Term k+1 einsetzt.
Dazu nutzt Du folgende Regeln:
3^(k+1)=3*3^k.
(2(k+1))!=(2k+2)!=(2k)!*(2k+1)*(2k+2), wobei Du 2k+2 wiederum als 2(k+1) darstellen kannst.
((k+1)!)²=(k!*(k+1))²=(k!)²*(k+1)².
Aufgrund dieser Identitäten kannst Du ein fröhliches Kürzen beginnen.
Am Ende bleibt der Limes von (4k+2)/(3k+2), der nach Erweiterung mit (1/k)/(1/k) zum Grenzwert 4/3 und damit zum gesuchten Konvergenzradius führt.
Herzliche Grüße,
Willy