Was genau wird hier gezeigt (Potenzreihe)?
Das der Konvergenzradius 1 ist, ist deutlich, wir haben als Häufungspunkte die 0 und die 1 und nehmen den größten Häufungspunkt, hier die 1, also 1/1 und das ergibt 1.
Aber was soll der untere Teil, was wollte man da zuzüglich zeigen?
2 Antworten
Sieh dir mal die bewiesene Formel von der anderen Seite aus an:
Sei f die Funktion z → z²/(1-z²) (die auf der Menge der von 1 und -1 verschiedenen komplexen Zahlen definiert ist).
Dann zeigt die Formel, dass sich diese Funktion für die Elemente z mit |z|<1 als Potenzreihenfunktion z → P(z) schreiben lässt:
Es gibt eine Potenzreihe P, so dass für alle z mit |z|<1 gilt: f(z) = P(z)
Die Potenzreihe P (die ja am Anfang konkret angegeben wird) nennt man auch Potenzreihendarstellung der Funktion f in der offenen Kreisumgebung von 0 vom Radius 1.
Weiter oben hatte ich dir schon mal geschrieben, dass man aus einer Potenzreihe P stets eine Funktion vom Konvergenzbereich in die Menge der komplexen Zahlen erhält, nämlich durch die Grenzwertzuordnung
z → P(z)
Der von dir umkringelte "untere Teil" stellt ein Beispiel für diesen - wie sich in der Vorlesung zeigen wird - fundamentalen Zusammenhang dar. Das ist alles andere als eine "überflüssige Formel"!!
Die Frage, welche Funktionen φ sich in dieser Weise durch Potenzreihen (jedenfalls innerhalb deren Konvergenzradius) erfassen lassen, führt zu einem ersten wirklich großartigen Hauptsatz der Funktionentheorie. Man spricht dann von einer Potenzreihenentwicklung der gegebenen Funktion φ.
Sei also darauf gefasst, dass die Einsicht in den Zusammenhang zwischen der Funktion f: z → z²/(1-z²) und der Potenzreihe P, mit der der Text startet, ein Beispiel für eines der Hauptziele deiner Vorlesung sein wird! Hier geht es um die Potenzreihenentwicklung von f im offenen Kreis um 0 vom Radius 1 - ein "Zipfel" eines gewaltig allgemeinen und zugleich unglaublich ästhetischen Zusammenhangs der Funktionentheorie.
Wenn du die Vorlesung weiter hörst, wirst du an das Beispiel vielleicht noch dankbar zurückdenken. Denn es konkretisiert in nichttrivialer Weise ein späteres Hauptergebnis! Solche konkreten Beispiele sind wichtig, weil man durch sie viel besser versteht, was da im Abstrakten später bewiesen wird!
Da wird einfach nur gezeigt, dass man den Reihenwert als geschlossenen Ausdruck angeben kann. Das bedeutet einfach, dass man die Reihe bei eingesetztem z mit |z|<1 "sofort" ausrechnen kann. Wenn du da jetzt bspw. z=0,5 einsetzt, erhält man sofort
und spart sich somit die umständlichere Berechnung des Reihenwertes.
Ja, aber was hat das mit dem Bild zu tun? Diese geschlossene Formel gilt nur für die Reihe a_n * z^n, mit a_n wie im Bild. Du kannst jetzt nicht einfach sagen, dass du a_n durch ne andere Folge ersetzt und auf die selbe Weise den Reihenwert ausrechnen kannst. So einfach ist es dann doch leider nicht.
Was ich mich gefragt habe, kann ich nun sagen, ich nutze die Formel z^2/(1-z^2) ebenfalls, z. B. für 0,5 ergibt das 1/3 und dann berechne ich halt noch mal 38/n und berechne so direkt die Werte der Potenzreihe für |z|<1? Oder darf ich die Formel dann nicht benutzen, wenn a_n nicht 1 bzw. 0 ist?
Die Formel gilt nur, wenn man a_n abschnittsweise definiert, wie es (jetzt zum dritten und letzten Mal) oben im Bild der Fall ist.
a_n ist nicht immer 0 oder 1, sondern je nach n 0 oder 1.
Es gilt:
a_0=1
a_1=0
a_2=1
a_3=0
a_4=1
usw.
Wenn du a_n so vorliegen hast, dann gilt die Formel.
Nahaiiiiin. Ich zitiere mich selbst jetzt noch ein allerletztes Mal:
Die Formel gilt nur, wenn man a_n abschnittsweise definiert, wie es oben im Bild der Fall ist.Und zwar genau so. Keine Abweichungen. Diese spezifische Formel funktioniert nur, weil man a_n genau so vorliegen hat. Das lässt sich nicht auf irgendwelche anderen a_n verallgemeinern.
Danke, also ist a_n vollkommmen irrelevant, also was da steht, ist erstmal egal? wenn mein |z|<1 ist, kann ich dadurch direkt die Reihenwerte, durch die Formel ausrechnen und dann halt noch *a_n ? Wenn z. B.:
a_n= 38/n und ich habe eine als z einfach z. B. 0,5, also z=0,5 dann kann ich 1/3*38/n machen und habe direkt den Reihenwert?