Konvergenzradius Reihen?
Hallo,
bei einer Potenzreihe von n=0 beginnend über a_n•z^n (z ist komplex) habe ich folgende Koeffzienten a_n ermittelt.
a_(2n) = (–1/2)^(n+1)
a_(2n+1) = –(–1/2)^(n+1)
Diese explizite Folge ist laut Lösungen auch korrekt. Nun soll ich noch den Konvergenzradius r bestimmen.
Hierfür habe ich einmal das Wurzel- und einmal das Quotientenkriterium genutzt. Beim Quotientenkriterium kam ich auf r=1, bei dem Wurzelkriterium auf r=2.
Die Lösung laut Buch ist r=sqrt(2).
Könnt ihr mir bitte zeigen, wie ihr den Konvergenzradius ausrechnet? Ich finde den Fehler nicht.
1 Antwort
Diese rekusive Folge ist laut Lösungen auch korrekt
Das ist keine rekursive Folge, sondern eine explizite.
Für den Fall 2n hast du die 2n. Wurzel von (1/2)^(n+1)
Und das geht gegen 1/sqrt(2)
Fûr den Fall 2n+1 hast du die 2n+1. Wurzel von (1/2)^(n+1) und das geht wieder gegen 1/sqrt(2).
Der limsup der n. Wurzel von |a_n| ist somit 1/sqrt(2) (da die n. Wurzel von |a_n| konvergiert)
Der Radius ist also Wurzel(2)
Das ist keine rekursive Folge, sondern eine explizite.
Sorry, stimmt. Habe die aus einer rekusriven hergeleitet... hab da gerade etwas durcheinander gebracht
Du musst hier eine Fallunterscheidung mache, ob der zähler einen geraden oder ungeraden Index hat.
Fall 1: |a_2n+1/a_2n| = 1
Fall 2: |a_2(n+1)/a_2n+1|=1/2
Beim Quotienten Kriterium betrachtest du den Limsup, dieser ist 1, du hast somit keine Aussage.
Wenn man dann |a_(2n+2)/a_(2n)| rechnet? Das verwirrt mich nämlich, da ich mit |a_(n+1)/a_n| das n-te Reihenglied und das nächste verstehe. Bei |a_(2n+2)/a_(2n)| betrachtet man ja nur jedes zweite Reihenglied. Kann man dann immer noch die Konvergenz zeigen?
Vielleicht gibt es ein anderes Kriterium, womit das möglich ist, das ist aber dann nicht das Quotientenkriterium.
Du musst aber beachten, dass wenn du die Zweierschritte betrachtest, dass du dann zwei Schritte gehst, es kommt also trotzdem 1/sqrt(2) raus, da du sozusagen zwei Mal um den Faktor 1/sqrt(2) kleiner wirst.
Beim Quotienten Kriterium betrachtest du den Limsup, dieser ist 1, du hast somit keine Aussage.
Ok, der limsup wurde noch nicht eingefürht. Ebenso wie diese Aussage mit ihm. Ich bleibe in solchen Fällen dann einfach beim Wurzelkriterium.
Mit dem Quotientenkriterium komme ich jetzt auf 1/2... wie würdest du das rechnen? Ich verstehe gerade nichts mehr :(
Aah! Das ist natürlich logisch.
Kann man das Quotientenkriterium auch verwenden?
Wenn man dann |a_(2n+2)/a_(2n)| rechnet? Das verwirrt mich nämlich, da ich mit |a_(n+1)/a_n| das n-te Reihenglied und das nächste verstehe. Bei |a_(2n+2)/a_(2n)| betrachtet man ja nur jedes zweite Reihenglied. Kann man dann immer noch die Konvergenz zeigen?
Denn dann müsste die Reihe ja aus zwei konvergenten Reihen bestehen, nämlch den mit den geraden n und den ungeraden. Der kleinere (oder beide sind gleich) Konvergenzradius muss ja dann sqrt(2) sein. Oder blicke ich wieder nicht durch?