Warum heißt es beim Quotientenkriterium |a_n+1/a_n| und beim Konvergenzradius umgekehrt |a_n/a_n+1|?
Guten Tag leute,
Ich bin ziemlich verwirrt. Die Formel für das Quotientenkriterium lautet ja | an+1/an |. Wieso ist die beim Konvergenzradius anders herum also | an/an+1 | und warum sind bei manchen Konvergenzradius bestimmen aufgaben im Zähler eine 1 also dass man 1/an/an+1 rechnet. Ich hoffe ihr versteht was ich meine bin ziemlich verwirrt.
LG und schönes Wochenende
2 Antworten
Eine Potenzreihe einer Funktion kann auch dann noch konvergieren, wenn die Reihe oder sogar Folge der Koeffizienten nicht konvergiert.
Z. B. konvergiert
x^1 + x^2 + ...
für alle x mit |x| < 1, wobei die Folge der Koeffizienten konstant ist, also insbesondere konvergiert.
Ebenfalls konvergiert
x^1 + x^3 + x^5 + ...
mit Konvergenzradius 1. Diese Reihe lässt sich auch darstellen als
1 x^1 + 0 x^2 + 1 x^3 + 0 x^4 + ...
und hier hat die Folge der Koeffizienten die Häufungspunkte 0 und 1, und insbesondere keinen Grenzwert.
Der Konvergenzradius richtet sich nach dem größten Häufungspunkt der Koeffizientenfolge. Wir haben so was wie
r = 1 / max(Häufungspunkte(Folge))
(Wobei die Folge nicht die Koeffizientenfolge selbst ist, sondern etwas ein klein wenig komplizierteres)
Ich hätte den letzten Abschnitt stärker gewichten können.
Oder ich habe die Frage missverstanden.
Beim Quotientenkriterium geht es darum, dass die Reihe der Folgeglieder selbst konvergiert.
Beim Konvergenzradius geht es darum, dass die Reihe der Folgeglieder jeweils multipliziert mit einer Potenz des Funktionsarguments konvergiert.
also beim konvergenzradius soll die konvergieren wenn man zb bei n eine 1 einsetzt
und beim QK konvergiert sie beim ausklammern von n?
Beim Quotientenkriterium konvergiert die Reihe, wenn der betragsmäßig größte Häufungspunkt der Quotienten echt kleiner als 1 ist.
Beim Konvergenzradius geht es darum, dass die Funktion konvergiert, also die Summe über a_n * z^n (z das Funktionsargument). Dafür muss die Folge der (a_n z^n)_(n ∈ ℕ) z. B. das Quotientenkriterium erfüllen.
Umrechnung liefert dann das Kriterium mit dem betragsmäßig größten Häufungspunkt der n-ten Wurzeln.
Der Kehrwert kommt daher, dass die Folgeelemente mit dem Funktionsargument multipliziert werden und der Konvergenzradius mit den Funktionsargumenten zusammenhängt.
D. h. (a_n z^n) muss konvergieren, also z. B. der Quotient <= m < 1 bleiben.
Leider lässt mich der Antworteditor die Antwort nicht abschicken, zu viele Formeln funktionieren wohl nicht und produzieren einen Internal Server Error. Du findest meine Antwort, die ich geben wollte, hier
http://mathb.in/41548?key=cec6e9a78c141411587655b87fbf58a27e8fddf4
und ich werde sie hier hinein "migrieren", sobald es geht.
Hier schon mal als Bild. Nicht optimal, aber immerhin. Klick es an, dann wird es schärfer.
LG
du hast meine frage glaube nicht gelesen oder xd?