Wie bestimmt man die Nullstellen einer Funktion?
Wie kann ich die Nullstellen einer Funktion bestimmen, zum Beispiel die von f(x)=2x^6-32x^4+128x^2? Bin gerade ziemlich verwirrt und wäre dankbar wenn mir das jemand erklären könnte!
5 Antworten
Hallo iPod,
die Funktion f(x) = 2x^6-32x^4+128x^2
... lässt sich nur durch das Anwenden mehrerer Methoden zur Nullstellenbestimmung lösen. Hierbei tauchen Begriffe wie „Substitution“, „PQ-Formel“ sowie „Polynomdivison“ auf. Solltest du diesbezüglich noch Schwierigkeiten haben, schlage ich dir, dich im Internet schlau zu machen.
Ansonsten hier die vorgefertigte Rechnung:
- Du klammerst "x^2" aus, da der letzte Term der Funktion einmal "x^2" beinhaltet. Das heißt:
f(x) = x^2 (2x^4-32x^2+128)
- Du weißt nun dass zwei Nullstellen x=0 sind, da wenn du 0 in x^2 einsetzt, das komplette Ergebnis 0 wird, und letztlich willst du ja wissen, an welchen Stellen das Ergebnis der Funktion gleich 0 ist. Weiter gehts mit der Funktion:
f(x) = 2x^4-32x^2+128
- Du wendest die „Substitution“-Methode an. Hierbei ersetzt du "z" durch "x^2".
f(x) = 2z^2-32z+128
- Nun musst du die Funktion durch 2 teilen, um anschließend mit der PQ-Formel die restlichen Nullstellen der Funktion bestimmen zu können.
f(x) = z^2-16z+64
- Du wenst die PQ-Formel an. Die Nullstellen lauten:
z = 8 (doppelte Nullstelle) sowie x = 0
- Allerdingst musst du noch z = 8 rücksubstitutionieren. Das heißt, du setzt 8 in Wurzel ein und rechnst die Zahl. Das sind deine Nullstellen. Das machst du ebenso mit einem Minus vor der Wurzel. Stichwort: "Substitution Nullstellen". Im Internet findest du vieles darüber.
Lösungen:
x1 = 0 (doppelte Nullstelle) x2 = 2,83 (doppelte Nullstelle) x3 = -2,83 (doppelte Nullstelle)
Ich hoffe, ich konnte helfen!
Zuerst 2X^2 ausklammern, sodass die erste Nullstelle x1=o. Dann hast du in der Klammer noch -16x^2+64 und das kannst du dann nach x auflösen ( Wenn ein Faktor null ist, so ist ja der gesamte Term null.) Die zweite Nullstelle ist also x2=2 und die dritte x3=-2.
Die erste Nullstelle ist auf jeden Fall schonmal die 0, da überall ein x enthalten ist.
Ansonsten ausklammern und dann schauen wie es weitergeht (riecht binomisch).
2x^6-32x^4+128x^2 = 2x^2 ( x^4 - 16 x^2 + 64 )
Jupp. Zweite binomische Formel.
Wenn du 2x^2 ausklammers, steht aber in der Klammer (x^3 ...) Potenzgesetze.
Ich würde 2x^2 ausklammern und dann schauen, obs mit Polynomdivision zu lösen geht.
Erst ausklammern und dann zB. so wie im Video :-)
Na, da hast du aber x ^ 4 unterschlagen - das steht auch noch in der Klammer.