Frage von laurendie08, 54

Wie rechnet man die Nullstellen von 0= 2x^6 - 32x^4 +128x^2?

Antwort
von dermitdemhund23, 21

Ich glaube mit Substitution. Also für x^2 setzt du stattdessen ein a ein. Dann klammerst du ein a aus und kannst die pq-Formel anwenden. 

Wobei ich mit dem Ausklammern nicht sicher bin, ob das nach einer Substitution möglich ist. 

Antwort
von PeterKremsner, 28

x² herausheben:

0 = (2x^4-32x²+128) * x²

Daraus folgt dass eine Doppelnullstelle bei x = 0 vorhanden ist. (Satz vom Nullprodukt)

Danach kannst du x² durch u substituieren:

2x^4-32x²+128 = 0

2u²-32u+128 = 0

u1,2 = 8

=>

x² = 8

x = +/-2*sqrt(2)

Das bedeutet zwei Lösungen bei 0

zwei Lösungen bei +2*sqrt(2) und zwei Lösungen bei -2*sqrt(2)

Somit haben wir 6 Nullstellen zu einem Polynom 6ten Grades, damit können wir uns überzeugen, dass wir auch alle Nullstellen gefunden haben.

Kommentar von dermitdemhund23 ,

Kann man auch zuerst substituieren und dann ausklammern? 

Kommentar von PeterKremsner ,

Ja natürlich, du musst eben die Rücksubstitution auf jeden Wert von u anwenden.

Die Aufgabe ist wenn man das hat eigentlich relativ einfach und sogar ohne Taschenrechner Lösbar, man braucht nicht mal die pq Formel.

Kommentar von laurendie08 ,

Ok es scheint das du Ahnung hast wie es geht, aber leider weiß ich nicht wie diese substitution funktioniert da ich sie noch nicht in der Schule hatte :( . Könntest du möglicherweise bitte erklären wie das geht?

Kommentar von PeterKremsner ,

Bei der Gleichung:

2x^4-32x²+128 = 0

kannst du anstatt x² einfach u schreiben.

x^4 ist ja nichts anderes als (x²)^2 also u²

und x² wird zu u.

In deiner neuen Gleichung steht also:

2u²-32u+128 = 0

Diese Gleichung kannst du jetzt mit der pq Formel oder eleganter lösen...

Dann steht im Allgemeine zwei Lösungen:

u1 = a

u2 = b

Dann ersetzt du die u wieder durch x² also steht da:

x1² = a

x2² = b

Von diesen beiden Gleichungen ziehst du jetzt jeweils die Wurzel also steht:

x1 = +/- sqrt(a)

x2 = +/- sqrt(b)

sqrt ist einfach nur die Quadratwurzel der Zahl.

In deinem Beispiel ist aber x1 und x2 die selbe Zahl von da her braucht man hier nur einmal die Wurzel ziehen.

Kommentar von laurendie08 ,

Vielen Dank hätte nicht gedacht das ich es so schnell verstehen würde.

Antwort
von ByteJunkey, 32

Mit der sog. "p-q-Formel" oder auch "Mitternachtsformel" genannt.

Kommentar von dermitdemhund23 ,

Um die anwenden zu können, muss die Funktion aber eine andere Form haben. 

Kommentar von ByteJunkey ,

Klar, das ist Vorraussetzung.

Kommentar von laurendie08 ,

Wie bringe ich in die Form das ich es rechnen kann, klar x^2 +px + q aber wie genau ist es bei dieser aufgabe

Antwort
von NothingGoodFor, 37

Mit oder ohne Taschenrechner?

Kommentar von laurendie08 ,

Mit

Kommentar von NothingGoodFor ,

entweder ganz einfach eingeben, oder, wenn der Taschenrechner nur bis zu Funktionen dritten Grades kommst, sagst du statt x^2 einfach x, dann hast du 2x^3....., dann musst du von den herauskommenden x-Werten noch die Wurzel ziehen, dann hast du die Tatsächlichen

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