Nullstellen der Funktion 2x^3-12x^2+18x?

Von einer Matematiklehrerin erwarte ich, dass sie dieses Teorem ohne Erklärungen spontan rafft; dass sie sich mal einen Nachmittag ruhig hinsetzt und es beweist ( Da braucht die mich nicht dazu - hoffentlich. )

    Der Zerlegungssatz ist der letzte Nagel auf Gauß seinen Sarg; Gauß war doch schlauer wie ich. Hätte der den SRN wirklich gefunden; in der nämlichen Woche hätte er dieses Teorem aufgestellt gleich mir. Wäre mein Zerlegungssatz bekannt; die Mitternachtsformel ist doch sowas von Kontra-intuitiv. Schüler raten für ihr Leben gerne; die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu finden, reichen im Allgemeinen ( 2bc;3b ) völlig hin ( Vieta alleine nicht; das ist gerade der Witz. )

Finster wie hell und Laden wie Fenster :)

Nachdem ich mir dein Link über den SRN angeguckt habe denke ich, dass dieser Satz durchaus nützlich sein kann, ich allerdings vermute, dass er trotzdem zeitaufwendiger ist als der Satz von Vieta.

Geh ich recht in der Annahme, dass man durch den SRN die möglichen rationalen NS (Nullstellen) bekommt? Also in diesem Fall +-3. Nun muss aber immer noch das Einsetzen erfolgen um diese notwendige Bedingung zu bestätigen. Beim Satz von Vieta hingegen ist keine Prüfung notwendig, da aufgrund des 2. Grades der Funktion beide Lösungen sofort zu erkennen sind.

Ist der SRN sinnvoller für Funktionen mit dem Grad 3 oder höher?

  Zunächst hat leider eine notwendige Klärung zu erfolgen. Es  geht mal wieder um meinen Fälschungsvorwurf im Zusammenhang mit Gauß bzw. Wiki.  Matematische Fachbeiträge in Wiki sind durchweg hoch professionell; häufig enthalten sie Querverweise, von denen selbst Studenten nichts ahnen. Dagegen wirkt das SRN Referat geradezu pennälerhaft geschludert.

   Ich bin glücklicher Besitzer eines Werkes über Geschichte der Matematik; alle Teoreme beginnen ihr Erdendasein damit, dass ihr Entdecker behauptet, sie seien auf alles und jedes anwendbar. So war beispielsweise Leonhard euler überzeugt, sämtliche ===> unendlichen Reihen ===> konvergieren.

    Erst später besinnt man sich und erkennt, dass bestimmte Behauptungen an ganz spezielle Voraussetzungen geknüpft sind.  So bin z.B. ich der erste, dem auffällt, dass die Aussage des SRN überhaupt nur für PRIMITIVE Polynome Sinn hat   ( Warum !!! ??? )  Diese Einsicht wirst du aber in der GESAMTEN LITERATUR vergebens suchen; Wiki steigert sich gar zu einem Beispiel mit gebrochenen Koeffizienten.

   Wäre Wiki professionell, so stünde da schlicht und ergreifend

   " Gegeben sei ein primitives Polynom. "

   Würde dieser SRN aus der Zeit von Gauß stammen - längst hätte sich diese Schönheitskorrektur durchgesetzt.  Denn jetzt wo es den SRN gibt, erweist sich auf einmal der als esoterisch unterschätzte ===> Eisensteintest  ( 1880 ) als sein Zwillingsbruder; und Onkel eisenstein WIRD überall korrekt zitiert mit Primitivem Polynom. 

   Solche Genies wie dieser SRN Fritze ( möglicher Weise ein User namens " Ribek " ) sind jedoch häufig ungeeignet für die Knochenarbeit an den Hochschulen, die ja nun auch erledigt werden muss -  ich verweise auf den Skandal um die sog. Beweise eines ===> Ramanujan; der Mann hat nie gelernt, wie man auch nur halbwegs seriös arbeitet.  Und so sehe ich mich denn gezwungen, die Algebra um folgende Definition zu bereichern

  DEFINITION   ( Normiertes Polynom )

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   Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form  ( PF )  mit seiner Normalform überein stimmt.

   Anders gesagt:  Wenn seine Koeffizienten in Normalform sämtlich ganzzahlig sind.

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  Wohl gemerkt; PF und Normalform sind nur ( äquivalente )  DARSTELLUNGEN  des selben Polynoms. Dagegen ist die Eigenschaft " Normiert "  eine Eigenschaft des Polynoms und nicht Eigenschaft einer seiner Darstellungen.

    KOROLLAR   zum  SRN  (  Ganzzahlsatz  )

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   Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.

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   So; nun sieht  das schon  richtig seriös aus.

   Was ich jetzt mache, ist natürlich mit Kanonen nach Spatzen geschossen. Aber mit den nachfolgenden Verfahren knackst du 90 % aller quadratischen Gleichungen ( QG )   die in der Schule üblich sind.  Mit Kanonen nach Spatzen, weil dein Beispiel so Mega easy ist, dass alles rund auf geht. Es reicht trotzdem, um das allgemeine Prinzip zu durchschauen.

   Speziell bei QG reduziert sich der SRN auf die viel stärkere Aussage von Zerlegungssatz ( 1.2bc )   Schon oben in ( 1.1 ) war PF gefordert; in unserem Falle ist

     b2  =  1  ;  b1  =  (  -  6  )  ;  b0  =  9            (  3.1  )      

   Vieta ( 1.3c ) nutzt uns doch gar nichts, wenn du die Wurzeln raten wolltest. Mit ( 1.3c ) wäre ja z.B. verträglich

        x1  =  3 / 4 711  ;  x2  =  3  *  4 711       (  3.2  )

   Es ergeben sich ( abzählbar ) unendlich viele Möglichkeiten; worauf willst du dich eigentlich berufen bei deiner Ratestrategie?

  Dagegen mit dem Ganzzahlsatz überleben nur 9 = 1 * 9 so wie 9 = 3 * 3 .

   Du kannst  das jetzt voll naiv angehen;  Vieta ( 1.3c ) fordert, dass die 9 das Produkt der beiden Wurzeln ist. Der Ganzzahlsatz macht die zusätzliche Einschränkung, die Wurzeln sind ganzzahlig ( Polynom ( 3.1 ) ist normiert. )

   In vielen Fällen ist es aber nützlich,  Zerlegungssatz ( 1.2bc ) zu kennen.  Abermals brettert ( 1.2c ) auf die Aussage der Ganzzahligkeit; und ( 1.2b ) liefert dir sämtliche Zerlegungen der 9 .

   Meine Zahlen teoretische Trickkiste ist noch lange nicht ausgereizt; noch in der Woche im Jahre 2011, als ich vom SRN Wind bekam, fragte ich mich, was ist eigentlich ggt x1;2 ? Die Antwort gibt dir übrigens dein heiß geliebter Vieta; ich beziehe mich aber gleich auf den allgemeinen Fall ;  es gelte die selbe Notation wie oben ( 1.1;2a-c;3a-c )  Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta

   m  |  p1;2  <===>  m  |  b1  ;  m  ²  |  b0             (  3.3a  )

   " Teiler von p1;2  "  klingt leicht gewöhnungsbedürftig, obgleich ich auch solche Fälle schon zu bearbeiten hatte. Durchsetzen wird es sich in der Praxis wohl nur für ganzzahlige Lösungen.

   ( max Zeichen )

Meine Zahlen teoretische Trickkiste ist noch lange nicht ausgereizt; noch in der Woche im Jahre 2011, als ich vom SRN Wind bekam, fragte ich mich, was ist eigentlich ggt x1;2 ? Die Antwort gibt dir übrigens dein heiß geliebter Vieta; ich beziehe mich aber gleich auf den allgemeinen Fall ; es gelte die selbe Notation wie oben ( 1.1;2a-c;3a-c )

   Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta

     m   |   p1;2  <===>  m   |   b1  ;  m  ²   |   b0          (  4.1a  )

    "  Teiler von p1;2  "  klingt leicht gewöhnungsbedürftig, obgleich ich auch solche Fälle schon zu bearbeiten hatte. Durchsetzen wird es sich in der Praxis wohl nur für ganzzahlige Lösungen.Ein m , das die rechte Seite von ( 4.1a ) befriedigt, möge K-Teiler des ( primitiven ) Polynoms ( 1.1;3.1 ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt , also 3 im Falle ( 3.1 ) Die Behauptung in ( 1.1;2a )

     ggt  p1;2  =  gkt  (  f  )                 (  4.1b  )

   Du ahnst  es schon; genau wie wir einen Bruch durch seinen ggt zu kürzen gewohnt sind, kannst du aus einem Polynom den gkt heraus ziehen; dies geschieht  vermöge der Substitution

        x  =:  u  *  gkt  (  f  )  =  3  u        (  4.2a  )

    ( 4.2a ) wird eingesetzt in ( 1.1;3.1 )

  Tut mir Leid; ich kämpfe mit endlosen Systemabstürzen. Deshalb schicke ich  ab, weil ich jetzt essen gehe. Es geht aber gleich weiter mit dem  gkt.

   Und DAS soll ich glauben? Dass Gauß dümmer war als ich und sein ganzes Leben nicht zureichte, etwas so nahe Liegendes wie den gkt zu entdecken? Verstehst du, wie ich Fachmann für Fälschungen wurde?

( 4.2a ) wird eingesetzt in ( 1.1;3.1 )

   (  3  u  )  ²  -  2  *  3  (  3  u  )  +  3  ²  =            (  5.1a  )

   =  3  ²  (  u  ²  -  2  u  +  1  )       (  5.1b  )

   Wir tun jetzt so, als wenn wir die binomische Formel nicht kennen, sondern nur den SRN wie versprochen. Jetzt auf einmal gibt es doch nur noch die triviale  Zerlegung 1 = 1 * 1

      |  u1;2  |  =  1        (  5.2  )

   Aber welches Vorzeichen? Da " Minus Mal Minus " ja auch Plus ergibt,  ist einstweilen unklar, ob u1;2 = ( - 1 )  oder u1;2 = ( + 1 )  Hier ohne Witz; in der Diplomprüfung " Matematik Algebra " konnte ich eine " 1 Plus " packen, ohne je von der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) vernommen zu haben ... Du findest sie nicht mal in Hochschulskripten; dabei wäre sie für euch doch so nützlich. Also

    " Zwei Mal Plus "

      u1;2  =  1        (  5.3  )

   Du siehst; nur noch ein Kandidat überlebt ...

  Alle Bedingungen, die ich bisher  aufgezählt habe, sind sicher notwendig - sind sie aber auch hinreichend? Nein.

   Für eine QG stellt sich ganz typisch die Alternative:  Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer beiden Wurzeln. Oder aber sie zerfällt in zwei RLF . Unsere bisherige Strategie unterstellte Zerfällbarkeit; aber bewiesen ist das nicht. Einmal ganz abgesehen davon, dass im Allgemeinen nicht nur eine Lösung überlebt, sondern nach den Regeln der Kombinatorik haben wir meist mit mehreren Kandidaten zu rechnen.  Welche Größe eignet sich als Diskriminante?

   Hinreichende Bedingung ist immer Vieta p in ( 1.3ab ) ; du magst es selber nachprüfen.

   Da du dich nach Polynomen 3. Grades erkundigt hast; ich werde hier den häufigsten Sonderfall referieren.  Gehen wir aus von einem normierten Polynom

   f  (  x  )  :=  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0         (  5.4  )

   Als besonders übersichtlich erweist sich hier der Fall,  dass ( 5.4 ) vollständig zerfällt. Wieder hast du Vieta

    a0  =  -  x1  x2  x3  €  |Z      (  5.5a  )

     x1;2;3  €  |Z        (  5.5b  )

   Auch hier hatte ich schon den Fall, dass sich ein gkt aus ( 5.4 ) heraus ziehen lässt

  m  |  x1;2;3  <===>  m  |  a2  ;  m  ²  |  a1  ;  m  ³  |  a0          (  5.6  )

   Lohnend ist der Fall einer übersichtlichen Primfaktorenzerlegung so wie a0 = 8 = 1 * 1 * 8 = 1 * 2 * 4   (  8 = 2 * 2 * 2 geht nicht; da wäre der gkt ja von Vorn herein gleich 2   )

   Gerade bei kubistischen Polynomen geht es gar nicht ohne die CV ; geraten wird immer dasjenige Vorzeichen, bei dem du eine EINDEUTIGE Wirzel hast - insgesamt sind es ja drei Stück.

   Diskriminante ist stets Vieta a2

    a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )          (  5.7a  )

    Dann bleibt noch zu testen Vieta a1

    a1  =  (  x1  +  x2  )  x3  +  x1  x2       (  5.7b  )

   Im Übrigen habe ich - eben Falls 1990 - die beiden ===> alfonsinischen pq-Formeln ( AF1;2 ) entdeckt, von denen mir ein Kommentar das Kompliment machtere, sie erwiesen sich als " beste Formeln für Polynome 3. und 4. Grades " Also  gerade du als Vietafan vom Amt müsstest diese AF doch Mega geil finden ...

   Noch offene Fragen? Kritik? Vorschläge?

  ach eh dass ich ' s vergess - was die CV leistet. Der 3. Grad ist der kleinste; es gibt kubische Polynome, die schon alleine auf Grund CV gar nicht zerfallen können - ich lass dir das als Hausaufgabe.  Damit erweist sich die CV als erste Hüre für einen Ansatz, der auf vollständige Zerfällbarkeit setzt.

  Warum nenne ich mich überhaupt Gilgamesch? Bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos provozierte mein Name mal einen  13-jährigen Schüler, wie das mit Jugendlichen so zu  gehen pflegt. Aktion ===> Albert Lortzing

  " Auch ich war ein Jüngling mit lockigem Haar. "

   Er prahlte damit, dass er immerhin schon mal von der ===> Riemannschen Zetafunktion gehört hatte, war aber entweder nicht bereit oder nicht willens,  weiter gehende Angaben zu besagtem Tema zu machen. Drauf hielt er mir vor, was angeblich der Unterschied zwischen uns sei:

   " Du hast ja keinen Nobelpreis; ich aber  werde ihn bekommen ... "

   Ich wünschte ihm im Voraus viel Glück; er wollt sich aber nicht näher festlegen, wofür er  dereinst jenen Preis erhalten werde. Dann fragte er mich leicht irritiert

   " Warum nennst du dich eigentlich Gilgamesch? Bist du etwa kein Demokrat; hältst du dich für einen König? "

   Da galt es nun wirklich etwas richtig zu stellen. In der langen Gilgameschnacht des SWR Hörfunks ( 19 h - 24 h )  erfuhr ich, dass jener König den Beinamen trägt

   " Der Wanderer ferner Wege "

   und zu mir passt wohl kaum etwas besser als diese Beschreibung. Der Chefredakteur jener Soiree

  " Was ist ein ' Wanderer ferner Wege ' ? Wir wissen es nicht  ... "
   

   Ich glaube dass  sich ein User mit Fug und Recht so nennen darf, wenn er zu elementar algebraischen Hausaufgaben solche Beiträge geleistet hat, wie du sie in  meinem Kommentar zu " Finsterling " gepostet findest.

    Meine Meinung zu Däniken und Konsorten ist die folgende:

    Bisher wussten wir ja nicht, welchen IQ Homo Sapiens hält - intergalaktisch gesprochen meine ich. Seit meiner Entdeckung ( 2bc ) aus meinem obigen Kommentar zu Finsterling gehe ich genau davon aus: Eine intelligente Zivilisation, die ( 2bc ) bereits auf der technischen Entwicklungsstufe der Sumerer  entdeckt ( und nicht erst 2011 )  setze ich IQ = 100 . Jetzt denk mal in einer stillen Stunde darüber nach, was die " Krone der schöpfung " ist.

   Wohl kannten die Griechen DampfSPIELZEUG , aber keine Dampfmaschine. Wie lange es dauerte, bis wir auf dem Mond gelandet sind, ist hinreichend bekannt.

  wie hoch ist der IQ von Homo Sapiens? Nicht nur dass es so lange dauerte; ja seit wir endlich " oben " waren, bezweifeln gar Millionen die Mondlandung ...

   ===> SETI propagiert ja, die Aliens werden sich bemerkbar machen, indem sie Primzahlen funken.

   Und? Wenn sie sämtliche Zerlegungen einer quadratischen Gleichung funken? Werde ich dann ignoriert? Gilt das dann als astrales Wissen?

   Dass sich mein Zerlegungssatz ( 2bc ) noch nicht herum gesprochen hat, ist allein schon daraus ersichtlich, dass noch kein Esoteriker behauptet hat, er sei in den Pyramiden verbaut ...