Schnittpunkt/e einer Wurzelfunktion mit einer quadratischen Funktion - Könnt ihr mir weiterhelfen :(?
Hallo zusammen,
stehe vor folgendem Problem:
Ich soll den/die Schnittpunkte der folgenden Funktionen miteinander berechnen.
f(x)= -3x^2+2x+4
g(x)= 2.wurzel(2x)
Ich habe die Funktionen wie gewohnt gleichgesetzt:
2.wurzel(2x) = -3x^2+2x+4
Dann habe ich beide Seiten quadriert:
(-3x^2+2x+4)(-3x^2+2x+4) = 2x
Ergibt:
9x^4-12x^3-20x^2+16x+16 = 2x
gekürzt:
9x^4-12x^3-20x^2+16x+16 = 2x
Dann ganz klassisch die 2x auf die andere Seite bringen:
9x^4-12x^3-20x^2+14x+16 = 0
Nun weiß ich nicht mehr weiter...
Polynomdivision? Aber ich kenne keine Nullstelle geschweige denn 2 Nullstellen...
Übersehe ich etwas ? gibt es einen Trick?
Freue mich auf eure Antworten!
Ist übrigens eine Aufgabe von meinem Bruder aus der 11. Klasse =)
3 Antworten
Betrachte die Gleichung als Funktion f(x) und leite f(x) ab.
Newtonverfahren :
bekannt ist die Tangentenformel :
t(x) = f‘(x0) * (x-x0) + f(x0)
Herleitung :
Berührpunkt der Tangente und Graphen lautet :
B(x0/f(x0))
Tangente hat die Gleiche Steigung wie der Graph an der Stelle x0 also im Punkt B(x0/f(x0))
m = f‘(x0)
Geradengleichung:
t(x) = m*x + b
t(x) = f‘(x0) * x + b
f(x0) = f‘(x0) * x0 + b
f(x0) - f‘(x0) * x0 = b
t(x) = f‘(x0) * x + f(x0) - f‘(x0) * x0
t(x) = f‘(x0) * (x-x0) + f(x0)
Jetzt t(x) = 0 für Nullstelle der Tangente:
f‘(x0) * (x-x0) + f(x0) = 0
f‘(x) *(x-x0) = -f(x0)
x - x0 = -f(x0)/(f‘(x)
x = x0 - f(x0)/(f‘(x)) I Formel für das Newtonverfahren
Vorgehensweise :
1) f(x) ableiten
2) Wertetabelle anlegen
3) VZW von f(x) betrachten = x0
4) Einsetzen in Formel
5) Berechnen
6) Wenn die nächsten nachfolgenden Ziffern gleich sind, dann ist das deine ungefähre Lösung
einfach mit dem GTR,Casio lösen,wie ich einen habe.
Dann,so tun als ob,als wenn man die genäherten Nullstellen durch probieren ermittelt hätte.
Dann einer der beiden Näherungsformeln ,"Newton" oder "Regula falsi",anwenden
am besten löst man das mit einen Graphikrechner (GTR,Casio)
Nullstellen bei x1=1,287.. und x2=1,7728...
Direkt kann man das nicht in "Handarbeit" rechnen.
1) eine Wertetabelle aufstellen und auf Vorzeichenwechsel achten
2) wenn ein Vorzeichenwechsel stattfindet,liegt zwischen den beiden x-Wertenmindestens eine Nullstelle.
3) der Wert durch weitere Versuche verbessern
4) eine von den Näherungsformeln von "Newton" (Tangentenverfahren) oder "Regula falsi" (Sehnenverfahren).
5) eines der beiden Verfahren so lange anwenden (mehrmals) ,bis die Genauigkeit ausreicht.
- früher nannte man es biquadratische Gleichung: https://de.wikipedia.org/wiki/Biquadrat
- heute eher quartische... LOL
- ist zum Glück grad noch lösbar... ohne zu raten...
- zur Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+for+x:+(-3x%C2%B2%2B2x%2B4)%C2%B2+%3D+2x
- es gibt wohl nur 2 reelle Lösungen... komisch... da gibt es wohl noch n eleganteren Trick...
Ja, für quartische Gleichungen gibt es noch eine Lösungsformel. Die ist aber recht kompliziert und kein Schulstoff. Mit Schulstoff wird man die Gleichung demnach nicht exakt lösen können. (Man könnte höchstens mit einem Näherungsverfahren einen Näherungswert bestimmen.)
Danke für deine Antwort.
Könntest du auch verraten, wie man bei dem Näherungsverfahren vorgeht?
"Könntest du auch verraten, wie man bei dem Näherungsverfahren vorgeht?"
Bei welchem Näherungsverfahren? Es gibt viele verschiedene Näherungsverfahren, die man bemühen könnte ...
- Newton-Verfahren
- Bisektion/Intervallhalbierungsverfahren
- ...
Zunächst müsste man klären, welches man verwenden möchte.
Also an das Newton-Verfahren kann ich mich entfernt erinnern.
Ich werde es erstmal ausprobieren und meine Lösung dann hier einstellen.
Besten Dank schon mal und liebe Grüße
In dem von dir angegebenen Wiki-Link steht drin:
"Spezieller wird zusätzlich oft noch gefordert, dass eine biquadratische Gleichung nur gerade Exponenten aufweist"
In meiner Gleichung jedoch sind auch ungerade Exponenten enthalten.
Aber danke für den Hinweis.