Quadratische Funktionen Scheitelpunkt?
Ich wollte fragen, was bei einer Quadratischen Funktion (Bsp.: „x^2+3x+8“ das „3x“ verändert. Ich weiß, dass die „+8“ den Graphen auf der y-Achse in diesem Fall nach oben verschiebt. Aber, was macht dieses „3x“ und v.a. wie kann ich mir das auch bei anderen (z.B. bei „…-3x…“ oder „…+9x…“) vorstellen? Meine andere Frage ist, wie ich mir den Scheitelpunkt ausrechnen kann, wenn diese Funktion keine Nullstellen hat? Bin dankbar für jede Antwort!
Danke im Voraus
5 Antworten
Im Absolutglied sind gleich beide Verschiebungen verschlüsselt. Das kannst du mit Quadratischer Ergänzung auseinanderzerren.
In der allgemeinen Form ist das Absolutglied nur der Schnittpunkt mit der y-Achse, nicht etwa der Scheitelpunkt.
f(x) = x² + 3x + 8
p = 3 könntest du allerdings zuweisen.
Dann ist x für den Scheitelpunkt x = -p/2 = -1,5
und du kannst y mit der Funktionsformel ausrechnen.
QE ist ein anderes Thema. Da geht man tatsächlich über das Quadrat des Binoms.
Hält man sich jedoch an die p,q-Regel, dann ist die x-Koordinate wirklich -p/2. Man muss aber die y-Koordinate des Scheitelpunkts komplett ausrechnen. In der Ergänzungsform steht der Scheitelpunkt ja schon ausgerechnet da.
Wenn ich dasselbe mit „2x^2+6x-7“ versuche, dann komme ich auf „-6/2=-3“. Wenn ich das einsetze, dann kommt für . -7 raus“. Das stimmt aber nicht, warum? Muss ich vielleicht zuerst durch „2“ dividieren?
Aber, wenn ich diese Funktion durch 2 dividieren und die neue Funktionsgleichung in GeoGebra eingebe, dann sieht der Graph ganz anders aus, warum?
Klar! Die Funktion wird eine Normalparabel, ist also nicht mehr gestreckt.
Auch der y-Achsenabschnitt verändert sich.
Aber, die Nullstellen und der Scheitelpunkt bleiben unverändert. Und in unsererm Falle, teilen wir ja durch 2 um den Scheitelpunkt zu finden.
Die Nullstellen schon, aber der Scheitelpunkt geht auch nach oben und ist keinesfalls mehr derselbe. Also wie kommst du drauf, dass der Scheitelpunkt derselbe ist?
Für Dasselbe x, also der x-Wert des Scheitelpunktes bleibt derselbe!
Gehe am besten von der Funktion f(x) = x^2 aus ! Ihr Graph ist die Normalparabel mit dem Scheitel im Ursprung. Zu dieser Funktion soll nun 3x addiert werden. g(x)= 3x ist eine Gerade. Jeder Funktionswert von f(x) wird also um 3x vergrößert (oder verkleinert falls x negativ ist). Die Normalparabel (und ihr Scheitel) wird dadurch längs der Geraden y = 3/2 x um 3/2 nach links verschoben. Die Zahl 3 gibt den Abstand der beiden Nullstellen der Parabel an, da f(x) + g(x) als h(x) = x * (x + 3) geschrieben werden kann.
ja dieses seltsame Verhalten !
Obwohl man bei f(x) = x² + bx + c nicht am c rumbastelt , geht sie doch in c - Richtung , wenn man am b rumbastelt.
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Etwas viel Rechnung unten : hier die Kurzfassung
Wird aus x² + 2x gemacht x² + (2+a)x
ist der alte Scheitel bei -1/-1 , der neue bei
( ( -1- a/2) / (-1 - a - 0.25a²) )
Was die y-Richtung betrifft , verschiebt er sich von -1 um (-a-0.25a²) !!
Mit a = 6 entsteht SP ( -4 / -16 )
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Wo ist der Scheitel , wenn b geändert wird
Bei x² + 2x ist b = 2 und der Scheitelbei (-1/-1)
Bei x² + (2+a)x ist der Scheitel bei xs -(2+a)/2 =
-1- a/2
wird also nach links verschoben , wenn a>0, nach rechts , wenn a<0 .
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Beispiel a = 4
xs = -3
ys ?
(-1-0.5a)² + (2+a)*(-1-0.5a) =
1 + a + 0.25a² -2 - a - a - 0.5a² =
-1 - a - 0.25a²
-1 - 4 - 4 = -9
Bei x²+2x+c wäre der Scheitelpunkt bei S(-1/...)
Die Hälfte von 3 (Stichwort quadratische Ergänzung) bewirkt eine Verschiebung des Scheitelpunkts in x-Richtung (+links bzw. -rechts).
Der Scheitelpunkt hat seinen x-Wert immer bei (minus) der Hälfte des Faktors vor dem x. Vorausgesetzt, vor dem x² steht der Faktor 1. Auch hier: quadratische Ergänzung.
Aber, wenn ich jetzt die Funktion ohne die „+8“ in GeoGebra eingebe, dann verrückt die Parabel nicht nur auf der x-Achse nach links, sondern auch nach unten, warum?
Richtig. Daher hatte ich nur vom x-Wert gesprochen. 😉
Schau dir mal in Ruhe die quadratische Ergänzung an.
Mach‘ ich. Vielleicht melde ich mich dann nochmal👍😄
Was ist denn, wenn z.B. „2x…“ steht? Wie müsste ich dann vorgehen?
Vielen Dank! Nur noch eine Nachfrage: Wie kommst du auf „-p/2“. Ich habe mir nämlich gerade die Quadratische Ergänzung angesehen und da hieß es „(p/2)^2“…?