Bestimmen von Scheitelpunkt und Symmetrieachse einer quadratischen Funktion
Ich gebe Nachhilfe für einen Schüler (8. Klasse Gymnasium) in Mathe. Nun bin ich unsicher, ob ich ein Verfahren übersehen habe, denn die einzige Lösung die mir eingefallen ist, kommt mir sehr umständlich vor.
Er soll (ohne Ableiten) den Scheitelpunkt und die Symmetrieachse einer quadratischen Funktion finden. Dazu muss man doch den Funktionsterm auf die Scheitelpunktform bringen. Oder gibt es auch eine sinnvolle andere Lösung?
Das Problem ist, dass mein Schüler sagt, er hat quadratische Ergänzung noch nicht gelernt. Mir ist darum als einzige Lösung eingefallen, drei beliebige Punkte auf dem Graphen zu suchen und damit ein Gleichungssystem mit der allgemeinen Scheitelpunktsform aufzustellen. Dadurch kommt man auch auf das Ergebnis; aber leider erst nach 4 geschriebenen Seiten. Mit quadratischer Ergänzung geht's in 3 Zeilen...
Soll ich meinem Schüler jetzt einfach trotzdem quadratische Ergänzung beibringen? Ich kann ihn auch nicht fragen, wie er es in der Schule immer rechnet. Denn sein Lehrer scheint einen ziemliche Null zu sein. Der gibt seinen Schülern eine Funktion, die Schüler tippen die in ihren grafikfähigen TR ein und lassen sich die Funktion zeichnen, Nullstellen bestimmen, u.s.w. Darum kann mein Schüler z.B. auch kaum von Hand Gleichungen lösen. Das lässt er alles von seinem Taschenrechner machen...
Noch was. Hab ich einen Denkfehler oder stimmt das: "Eine quadratische Funktion hat immer die Form einer Parabel. Sie besitzt genau eine Symmetrieachse. Diese geht durch den Scheitelpunkt und verläuft parallel zur y-Achse."
3 Antworten
AA. Deine Idee mit der Mitte der beiden Nullstellen braucht dir nicht komisch vorzukommen. Da du offensichtlich sehr genau denkst, ein wenig Elementargeometrie:
Der Punkt P einer Parabel gehe durch Spiegelung an ihrer Symmetrieachse g mit der Gleichung x = d in den Punkt P' über. Genau dann haben P und P' den gleichen y-Wert.
Es gibt nur einen Punkt einer Parabel, der den y-Wert des Scheitels hat (nämlich der Scheitel S selbst). Also ist S = S' bei Spiegelung an g. -> S liegt auf der (Fixpunktegerade) g und hat den x-Wert d . (1)
Für Punkte P≠P' ist (wie bei jeder Achsenspiegelung) die Spiegelachse g Mittelsenkrechte der Strecke PP'. Das gilt insbesondere auch dann, wenn P und P' Nullstellen sind; also ist der Schnittpunkt von g mit der x-Achse der Mittelpunkt der Strecke, die von den Nullstellen (x0|0) und (x1|0) begrenzt wird. Daraus folgt:
d = (x0 + x1)/2; (2)
mit (1) ist d auch der x-Wert des Scheitels, q.e.d.
Tipp: Wie du leicht durch Einsetzen der Ausdrücke für x0 und x1 nach abc-Formel nachrechnest, ist d = -b/(2a), weil der ganze Krampf mit dem Wurzeln beim Vereinfachen wegfällt. Das zu wissen, ist zuweilen recht praktisch.
AB. Die Formel (2) gilt auch für x0 = x1 (der Scheitel ist die einzige Nullstelle) und sogar dann, wenn die Parabel keine reellen Nullstellen hat, weil der y- Wert des Scheitels positiv (bzw. negativ) ist und die Parabel nach oben (bzw. unten) öffnet.
Es ist in der achten Klasse aber wohl einfacher, dann doch lieber quadratische Ergänzung zu lernen als Rechnen mit Nullstellen, die echt imaginäre Zahlen sind. Aber ganz nach Geschmack... (ich persönlich fand imaginäre Zahlen nicht so wahnsinnig schwer).
B. Wenn du den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzt, hast du trotzdem nicht a (dann brauchst du noch einen anderen Punkt, praktischerweise eine Nullstelle). - Begründung: Zwei Parabeln mit verschiedenem a können den gleichen Scheitelpunkt haben.
C. Es gibt noch ein ganze anderes Verfahren (Bestimmung des x-Wertes Scheitelpunkts als Extremum durch Kurvendiskussion mit Differenzialrechnung). Heraus kommt, o Wunder, dass eine Parabel der Form
y = ax² +bx +c
einen Scheitel bei x = -b/(2a) hat. Die Rechnung dorthin ist schon allgemeiner, kürzer und eleganter als quadratische Ergänzung, setzt aber Oberstufen-Mathematik voraus.
Die Darstellung (ist mit Absicht) so geschrieben, dass sie für eine(n) Leser[in] der achten Klasse verdaubar sein sollte.
Naja, für den Scheitel ist dann d = - b/(2a), die "fixe Biege", besonders bei Panik-Situationen in Klassenarbeiten. etc. Wer pq- oder Mitternachtsformel behalten kann, kann das auch behalten, denke ich.
Hat er denn die pq-Formel schon? Du kannst den Scheitelpunkt ja auch berechnen, indem du beide Nullstellen berechnest und den Mittelwert der beiden nimmst (mir ist schon klar, dass die pq-Formel natürlich auch nix anderes ist als die quadratische Ergänzung, aber manche Schüler lernen die einfach so ohne Herleitung). Und ja, jede quadratische Funktion hat genau eine Symmetrieachse parallel zur y-Achse. Das ist richtig.
pq-Formel nicht, aber die abc-Formel. Auf die Idee, einfach die Mitte der beiden Nullstellen zu nehmen bin ich auch gekommen. Aber das kam mir ein bisschen komisch vor.
Soll ich den Scheitelpunkt dann in die allgemeine Form der Scheitelpunktform einsetzen und kann dadurch dann auch noch die Streckung der Parabel bestimmen? Oder gibt es eine einfachere Lösung?
wenn du die Funktion gegeben hast, siehst du ja den Streckfaktor vor dem x² .
Scheitelform mit quadratischer Ergänzung . denn Binomische Formeln hat er sicher gehabt.
Ja binomische Formeln hatte er natürlich. Aber quadratische Ergänzung nicht. Ich hab ihm das heute beigebracht und er hat es auch verstanden.
Ich hab ihn aber auch beaufragt seinen Lehrer zu fragen, wie der sich das in der Klassenarbeit vorstellt. Ich meine: Er kann ja nicht in der Schule alles mit dem GTR anzeigen und rechnen lassen und in der Arbeit müssen die Schüler das aber von Hand können. Ich versteh den Lehrer nicht ganz. Darum weiß ich jetzt auch nicht so genau, welches Verfahren ich meinen Nachhilfeschüler beibringen soll. Heftaufschriebe hat er nicht und dem Mathebuch folgt der Lehrer auch nicht.
Danke für den ausführlichen Beitrag. Und dazu noch so gut gegliedert. Sowas findet man bei GF leider nur sehr selten.
Daran, dass der Scheitelpunkt sogar dann der Mittelpunkt zwischen den Nullstellen ist, wenn diese nicht reell sind hab ich garnicht gedacht. Aber einem 8. Klässler, der Probleme mit Mathe hat und darum Nachhilfe braucht das Rechnen im Komplexen zu erklären würde zu weit führen.
Ich habe ihm jetzt die quadratische Ergänzung gezeigt um auf die Scheitelpunktform zu kommen. Das hat sich bei ihm bisher bewährt.
Bei ihm ist es meistens nämlich der Fall, dass er den Scheitelpunkt bestimmen soll. Und dafür die quadratische Ergänzung bzw. Scheitelpunktsform der sicherste Weg.