Die Wurzel aus einer rationalen Zahl ( = einem Bruch) ist genau dann rational, wenn Zähler und Nenner des Bruchs jeden Primfaktor in gerader Potenz enthalten. Denn dann musst du die Exponenten in allen diesen einfach bloß halbieren und hast die Wurzel.

In jedem anderen Fall aber existiert schlicht keine Primfaktorzerlegung der Wurzel mit ganzzahligen Primfaktoren, weswegen die Wurzel nicht rational sein kann (darin besteht ja die Idee des Beweises der Existenz irrationaler Zahlen, von dem du wohl sprichst).

Beispiele:

√ ( 688747536 / 15625 ) = √ (2^4 * 3^16 / 5^6 ) = 2^2 * 3^8 / 5^3 = 26244 / 125

ist rational (denn alle Exponenten 4, 16 und 6 sind gerade), aber

√ (2^5 * 3^16 / 5^6 ) = √ (2) * 2^2 * 3^8 / 5^3

ist irrational, weil der Exponent "5" ungerade ist.

. . .

Für natürliche Zahlen:

√ 62 015 625 = √ (7^2 * 3^4 * 5^6 ) = 7 * 3^2 * 5^3 = 7875 ist rational, aber

√ 857 500 = √ (2^2 * 7^3 * 5^4) = 2 * √(7) * 7^2 * 5^2 ist irrational.

Die Gleichung

E: x2 -x3 = -2

ist zu

0x1 -1x2 -1x3 = -2

zu ergänzen, wie KDWalther schon schreibt.

Kopfrechnung ergibt, dass die Normalenvektoren der Ebenen nicht kollinear sind. Es gibt also eine Schnittgerade g der Ebenen.

Um einen Punkt von g zu bekommen, setzt du in der x1 enthaltendene Gerade x1 = 0 und löst das verbleibende System zweier Gleichungen mit zwei Variablen x2, x3. Da g existiert, hat dieses System eine eindeutige Lösung x20, x30. Der Punkt (0 | x20 | x30) liegt auf g.

Der Richtungsvektor von g ist bequem als Kreuzprodukt ( = vektorielles Vektorprodukt) der Normalenvektoren beider Ebenen zu bekommen.

Wenn bei beiden Ebenen die x1-Koordinate fehlt und die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, ist der Vektor (1 0 0 ) zum jeweiligen Normalenvektor beider Ebenen orthogonal und also Richungsvektor der Schnittgerade.

Vorstellung: Für beide Ebenen gilt, dass ausgehend von einem beliebigen Punkt P der betrachteten Ebene alle Punkte ebenfalls zur Ebene gehören, die den gleichen x2- und x3-Wert wie P haben, sich aber im x1-Wert beliebig von P unterscheiden (denn "0 mal x1-Wert" fällt in der Ebenengleichung weg). Alle diese Punkte liegen auf einer Parallele zur x1-Achse durch P. Also kannst du dir beide Ebenen aus Parallelen zur x1-Achse zusammengesetzt vorstellen. Genau eine dieser Parallelen ist die Schnittgerade und hat deswegen den angegebenen Richtungsvektor.

Ein Punkt bekommst du wie im oben beschriebenen Beispiel (nur brauchst nur x1 nicht 0 zu setzen, das Produkt von x1 mit seinem Koeffizienten ist sowieso = 0).

A. Die Formulierung der Aufgabenstellung ist kritikwürdig.

(1) Eine Turmspitze ist ein Punkt und also nicht kegelförmig. Gemeint ist wohl ein Turmhelm, aber warum wird dieser dann nicht so bezeichnet?

(2) Die bisherigen Antworten gehen stillschweigend davon aus, dass die Drehachse z des gesuchten Zylinders mit der Drehachse t des Turms übereinstimmt; der Zylinder also "mittig" in der Turmspitze "steht". z und t sind aber Geraden im Raum; sie könnten auch parallel, aber nicht identisch sein, einander schneiden oder windschief sein. Dann "steht" der Zylinder "seitlich verschoben", "liegt" oder ist "schräg" in die Turmspitze eingepasst. Und wieso sollte das nicht so sein? Die Maße eines solchen Zylinders werden von den bis jetzt hier vorgeschlagenen Rechnungen gar nicht erst erfasst.

Mein mathematisches Bauchgefühl sagt, dass die gesuchte Lösung durchaus ein "mittig" in der Turmspitze "stehender" Zylinder ist; ein mathematischer Beweis dafür fehlt aber. Dieser wäre auf analytischem Wege einigermaßen anspruchsvoll, weil damit zwei Variablen mehr in die Rechnung eingeführt werden müssten (für den Winkel, den die Richtungen von t und z bilden, und für deren Abstand). Außerdem schneiden die Ebenen, in denen die den Zylinder begrenzenden, kongruenten Kreise k1 und k2 liegen, die Turmspitze in Kegelschnitten, und k1 und k2 sind diesen Kegelschnitten einbeschrieben. Also ist noch für je eine Anordnung von t und von z zu überlegen, wie der kleinere der Radien von k1 und k2 optimal in den jeweiligen Kegelschnitt eingepasst werden kann, und welcher Abstand von k1 und k2 zueinander ( = Höhe h des Zylinders) dann möglich ist; das macht die Rechnung auch nicht gerade einfacher.

Ich wüsste nicht, wie das ohne Vektorrechung und Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Unabhängigen gehen soll; Vorwissen über Kegelschnittgleichungen und Parameterdarstellung von Kreisen im Raum wäre auch nicht schlecht. Insgesamt ist das dann wohl eher Stoff für eine ganze Facharbeit der Oberstufe... Das alles entfiele, wenn der Aufgabentext eine Angabe über die Lage von t und von z enthielte - was aber nicht der Fall ist.

B. Unter den in A. formulierten Vorbehalten führt Ellejolka weiter. - Erläuternder Kommentar:

Der Strahlensatz bezieht sich auf die Schnittfigur von Zylinder und Turmspitze mit einer Ebene, die Achse t = z (s.o. A.) enthält. Dabei ist:

• 8 ist die gegebene Höhe der Turmspitze
• h ist die gesuchte Höhe des Zylinders,
  
• 5 ist der gegebene Radius des Turms
• r der gemeisame Radius der Kreises k1 und k2 (s.o. A.)

Tipps für die Lösung auf diesem Wege:

• Es ist weniger Rechenaufwand, nach 5h umzustellen (statt nach h)
• Die Nullstellen der Zielfunktion 5 V =... lassen sich vom Funktionsterm der rechten Seite ablesen. Die Faktor "5" vor V spielt für die Nullstellen keine Rolle.
• Jede ganzrationale Funktionen dritter Ordnung ist zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch (1).
• Für ganzrationale Funktionen dritter Ordnung mit einer doppelte Nullstelle gilt: Die doppelte Nullstelle n1,2 ist immer ein Extremum. Es gibt immer eine weitere reelle Nullstelle n3. Die x-Werte des Wendepunkts und des anderen Extremums teilen die Strecke auf der x-Achse zwischen n1,2 und n3 in drei gleiche Teile; beachte hierbei Bemerkung (1).

Der Radius des gesuchten Zylinders ist 10/3 (m).

Rechnung über die Stoffmenge: 1 Mol O2 sind 32g; das Molvolumen eines (annäherend) idealen Gases ist unter Standardbedingungen (1 bar, 0°C, trocken) 22,414 l.

x mg O2 haben also unter Standardbedingungen eine Volumen von

22,414 * x / 32 ml ≈ 0,7 x ml

Wenn dieser Sauerstoff eine Fraktion einer Gasmischung ist (Einheit mg/l), ändert das nichts an der Rechnung.

Die Gretchenfrage ist nur, ob die Mischung unter Standardbedingungen oder sonstigen für alle beteiligten Gase vergleichbaren und wasserdampffreien Bedingungen zustande kam.

Über die Geschichte des Abakus allein lässt sich mehr schreiben:

In welchen früher Kulturen war er wann bekannt? Wozu diente er dort im Alltag? Wie entwickelte sich das im Laufe der Jahrhunderte? - Ich weiß zufällig, dass noch im vorigen Jahrhundert, zu den Anfangszeiten des Computers ( = Lochkarte-Eingabe), ein Chinese mit Abakus einen Wettbewerb im Schnellrechnen gegen einen Computer gewann; du müsstest das für eine Facharbeit natürlich genauer recherchieren (wer genau, wann genau, wo).

Welche Rechenarten lassen sich damit überhaupt durchführen? Ich kenne Drei-Finger-Griffe für Addition, Subtraktion und Multiplikation. Dividieren geht bestimmt auch, war mir (damals) aber zu kompliziert - und wahrscheinlich auch Wurzelziehen usw.

Gebraucht habe ich: Definition des Sinus, Konsinussatz, zwei Formel für den Flächeninhalt der Raute (die immer auch ein Parallelogramm ist) und den trigonometrischen Pythagoras zur Umwandlung von Sinus in Cosinus. Der Rest sind Umformungen. Nichts Besonderes also.

Bezeichnungen wie in

http://de.wikipedia.org/wiki/Raute

Unterpunkt "Geometrie", zusätzlich

• e = AC, f = BD;
• h die Höhe auf Seite a mit Höhenfußpunkt Ha.

Wegen DA = AB = a ist und der Definitions des Sinus im rechtwinkligen Dreieck DAHa ist

sin(α) = h / a.

Mit Kosinussatz in Dreieck ABD ist (nach Zusammenfassen und Ausklammern von (a=b)² ):

f² = a²(2 - 2cos(α));

• wegen α < 90° (siehe Bezeichnungen) ist cos(α) = √ ( 1 - sin²(α)) =

√ ( 1 - h²/a² ) =

• Hauptnenner, auf einen Bruch, teilweise (d.h. den Nenner) radiziert

√ (a² - h²) / a ;

Einsetzen:

f² = a²(2 - 2√ (a² - h²) / a); | √

f = a √ ( 2 - 2√ (a² - h²) / a )

Da jede Raute ein Parallelogramm ist, gilt für den Flächeninhalt F:

a h = F = e f / 2; | * 2 / f

e = 2 a h / f =

• Formel für f einsetzen:

2 a h / ( a √( 2 - 2√ (a² - h²) / a ) ) =

• a kürzen, 2 unter der äußeren Wurzel ausklammern, √(xy) = √(x)√(y)

2 h / ( √(2) √( 1 - √ (a² - h²) / a ) ) =

• 2 = (√(2))²; √(2) kürzen:

h √(2) / √ ( 1 - √ (a² - h²) / a )

Ich nehme an, dass das komische Zeichen "x^4" bedeuten soll. Hier empfiehlt sich das Newtonverfahren nicht (Begründung s.u.).

Ausklammern geht nur, wenn das Absolutglied 0 ist. In der Beispielfunktion ist es 24 ≠ 0, fällt also flach.

Substitutionsverfahren geht vor allem dann, wenn nur zwei Exponenten vorhanden und der eine das Doppelte des andern ist, Schema:

f(x) = ax^(2n) + bx^n + c;

denn dann entsteht durch die Substitution x^n = u eine quadratische Gleichung. Es gibt auchdie komplizierten Substitutionen der Cardani-Formeln (mit der eine exakte Lösung der von dir vorgelegten Gleichung geschrieben werden könnte), aber die sind kaum praktisch gebräuchlich.

Geht bei der vorgelegten Funktion auch nicht.

Eine Polynomdivision setzt voraus, dass du schon eine Nullstelle x0 kennst, so dass du den Linearfaktor (x - x0) abdividieren kannst. Wenn du gar nichts weißt, geht es nicht.

Das (nicht erweiterte) Horner-Schema ist eine vereinfachte Form der Polynomdivision und kann dann angewendet werden, wenn diese angewendet werden kann.

. . .

Dann gibt es den wichtigen Satz, dass das Absolutglied Produkt aller Nullstellen und des Leitkoeffizienten ist. Der Leitkoeffizient ist der Koeffizient der höchsten Potenz, also hier "1" vor x^4. Wenn der Leitkoeffizient 1 ist, ist nach dem Satz jeder ganzzahlige Teiler ein ganzzahliger Teiler des Absolutglieds. Da jenes nur endliche viele Teiler hat, kannst du die mit Einsetzen in den Funktionsterm durchprobieren, also gezielt raten (in der Hoffnung, dass etwas Passendes, d.h. eine Nullstelle, dabei ist). Bei Schulaufgaben ist das auffallend häufig der Fall. Bei der vorgelegten Funktion sind die möglichen Teiler (von 24):

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Sobald du einen Teiler gefunden hast, kannst du Polynomdivision (oder einfacher Horner-Schema) anwenden.

Die vorgelegte Funktion hat mehrere ganzzahlige Nullstellen, die nach diesem Verfahren gefunden werden können

pq-Formel oder abc-Formel sind immer anwendbar, wenn die Funktion quadratisch ist, oder wenn nach Ausklammern oder Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht .

Die pq-Formel ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, wenn zwei Nullstellen geraten sind und mit Polynomdivision / Horner-Schema ein quadratisches Polynom entsteht.

Newton-Verfahren ist als "letztes Mittel" anwendbar, wenn die Funktion keine anders zu ermittelnde Nullstelle besitzt. Es liefert grundsätzlich nur einen Näherungswert, häufig aber mit wenig Aufwand einen sehr genauen.

Das Newton-Verfahren ist bei der vorgelegten Funktion anwendbar, aber das ist nicht vorteilhaft (weil sich die exakten Nullstellen unaufwändiger ermitteln lassen, s.o.).

Abkürzungen:

• D gezogene(r,n) Dominostein(en)
• W Wahrscheinlichkeit
• + eine 4 zeigt
• - keine 4 zeigt (-en)

• Die W, dass der erste D - , ist (28-7)/28 = 21/28
• Die W, dass der erste D - und der zweite D -, ist 21/28 * 20/27, denn es gibt nach dem ersten nur noch 27 zu ziehende Steine, von denen nur noch 20 -.
• Die W, dass der erste D - und der zweite D - und der dritte D-, ist 21/28 * 20/27 * 19/26, denn es gibt nur ersten und dem zweiten noch 26 zu ziehende Steine, von denen nur noch 19 - .
• (...)
• Die W, dass von den ersten zehn Steinen überhaupt kein D +, beträgt:

21 * ... * (21 -9) / ( 28 * ... * 28-9) = 21! * 18! / (28! * 11!)

• Die Gegen-W, dass von den ersten zehn D mindestens ein D + , ist

1 - 21! * 18! / (28! * 11!) =

1231/1265 ≈ 97,3%

...falls das überhaupt gefragt ist; denn es könnte auch gefragt sein, wie hoch die W ist, dass von den ersten zehn D genau einer +; dann wäre die Antwort anders (die W ist logischerweise deutlich kleiner).

Mit Bruchrechnung:

√ 0,16 =

√ (16 / 100 ) =

√ 16 / √ 100 =

• mit 4² = 16 ⇒ √16 = 4 und 10² = 100 ⇒ √100 = 10:

4 / 10 =

0,4

Spontan hätte ich geantwortet: Das Heron-Verfahren lässt sich als Speziallfall des Newton-Verfahrens auffassen und also das Newton-Verfahren auch für andere Wurzeln spezialisieren.

Aber genau das steht ohnehin (samt Formel) in der von clemensw angegebenen Quelle.

Ich würde hier nicht das Komplement bemühen.

Sondern ich stelle mir die Lage der Elemente von R\Z auf einem Zahlenstrahl vor, der bei den Elementen von Z "Löcher" hat. Für jedes Element des Zahlenstrahls zwischen den Löchern lässt sich eine hinreichend kleine Umgebung konstruieren, die das nächstgelegene Loch nicht enthält (und also ganz in R\Z enthalten ist). Mehr ist nicht zu zeigen.

Geometriefreie Formulierung:

Zu jedem Element r von R\Z gibt es eine größte ganze Zahl a < r und eine kleinste ganze Zahl b > r. Wähle δ > 0 mit δ < min(r-a, b-r). Dann liegen alle Elemente einer δ-Umgebung von r in R\Z, q.e.d.

Eine Funktion kann monoton steigen oder monoton fallen, häufig ist das für verschiedene Teile des Definitionsbereiches unterschiedlich. Z.B. ist y = x² für x < 0 streng monoton fallend, für x > 0 streng monoton steigend. Das ist mit Steigungsverhalten gemeint.

Mit dem Kurventyp* Kegelschnitt (Hyperbel, Parabel, Ellipse, Kreis) hat das nicht direkt zu tun.

Die Wertemenge ist die Menge aller y = f(x), die die Funktion annehmen kann. Z.B. enthält die Wertemenge von y = x² innerhalb der reellen Zahlen nur die positiven und null, denn ein Quadrat ist nie negativ.

Besondere Punkte eines Graphen sind z.B. Hochpunkte, Tiefpunkte, Terrassenpunkte ( = Sattelpunkte), Wendepunkte, Pole, Definitionslücken.

y = x² hat be x = 0 einen Tiefpunkt;

y = -x² hat bei x = 0 einen Hochpunkt;

y = x³ hat bei x = 0 einen Terrassenpunkt,

y = x³/3 - x hat bei x = -1 einen Hochpunkt, bei x = 1 einen Tiefpunkt und bei x = 0 einen Wendepunkt (dort geht die Rechtskurve in eine Linkskurve über; das ist jeweils in positive x-Richtung zu lesen).

Sei t ein Teiler von a, wobei t > √a

Dann ist n = a/t eine natürliche Zahl, und n ist wegen

n = a/t ⇔ n t = a ⇔ t = a/n (gilt für alle für t, n ≠ 0)

ebenfalls ein Teiler von a. - Wegen

t > √a > 0

gilt , weil der Übergang zum Kehrwert für positive Zahlen das Ungleichheitszeichen umkehrt:

1 / t < 1 / √a ; | * a > 0 (Ungleichheitszeichen bleibt erhalten)

a / t < a / √ a;

also insgesamt:

n = a / t < a / √a = √a.

Ergebnis:

• Zu jedem Teiler t > √a von a gehört eine Teiler n < √a.
• Wenn du alle n kennst, dann auch alle t.

Das läuft auf eine Kurvendiskussion hinaus, wobei du die Unterpunkte herausgreifst, die für deine Fragestellung brauchbar ist.

y = x^5-x^4-0,5x^3-2x^2+2

geht gegen ∞ für x → ∞ und gegen - ∞ für x → - ∞. Damit fallen bei einer Auswahl schon einmal einige Graphen heraus.

Der Graph von y ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung; ein solcher Graph fällt auch weg. (achsensymmetrisch zur y-Achse wegen des Verhaltens im Unendlichen sowieso nicht).

Der Schnitt des Graphs mit der y-Achse ist bei (0 | 2), siehe ffrayman

Der Graph kann bis zu fünf Nullstellen haben. Ein Graph, der mehr als 5 Nullstellen hat, fällt weg. Alle ablesbaren x-Werte der Nullstellen müssen eingesetzt in die Funktionsgleichung von y als Funktionswert 0 ergeben.

y' = 5x^4 -4x³ -1,5x² -4x = x(5x³ - 4x² -1,5x -4)

y' hat eine Nullstelle bei x = 0; also hat der herauszusuchende Graph bei x = 0 eine waagrechte Tangente.

Der Graph kann bis zu vier Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte) fünf Nullstellen haben. Ein Graph, der mehr als 4 Extremwerte hat, fällt weg. Alle ablesbaren x-Werte der Extremwerte müssen eingesetzt in die Funktionsgleichung von y' als Funktionswert 0 ergeben.

y'' = 20x³ -12x² -3x -4

Der Graph kann bis zu drei Wendepunkte haben. Ein Graph, der mehr als 3 Wendepunktehat, fällt weg. Alle ablesbaren x-Werte der Wendepunkte müssen eingesetzt in die Funktionsgleichung von y'' als Funktionswert 0 ergeben.

Da der Rest recht kompliziert wäre und teilweise Näherungsverfahren verlangt, gehe ich davon aus, dass die angegebenen und einfach herauszufindenden Eigenschaften des Graphs ausreichen müssten.

Zweite Aufgabe:

Ich betrachte nur den Teil rechts der y-Achse; aus Symmetriegründen ist hinterher nur das Ganze zu verdoppeln.

Wenn die x-Achse den Boden des Pavillons darstellt (was wahrscheinlich ist, aber nirgendwo steht), wird der Rand von 0 bis 11/2 (positive Nullstelle von g(x)) von h(x) gebildet, von 11/2 bis 6 aber von f(x), weil g(x) in diesem Intervall unterhalb der x-Achse verläuft. Da ist eine mögliche Fehlerquelle.

h(x) = 1 -29x²/4356; ∫ h(x) dx = -29x³/13068 +x +C = H(x) + C;

H(11/2) - H(0) = 4433 / 864 = A1

∫ f(x) dx = -5x³/108 +5x +C = F(x) + C

F(6) - F(11/2) = 20 - 17105 / 864 = A2

Querschnittfläche des Holzrahmens: 2(A1 + A2) = 32/3 = 10 2/3 ≈ 10,67 (cm²); ist das das angegebene (Zwischen)ergebnis?

Volumen des Holzrahmens: 20 * 32/3 = 640/3 (cm³)

(falls das so zu verstehen ist, was auch nirgendwo steht).

Masse des Holzrahmens: 7/10 * 640/3 = 448/3 = 149 1/3 (g)

Gewicht des Holzrahmens: 7/10 * 640/3 * 9,81 ≈ 1464,96 mN

Die drei Äste f1, f2, f2 der Funktion f: R → R, x → f(x) =

• f1(x) = 2x + 5 für x ∈ D1 = { x ∈ IR | x ≤ -1 (nicht x ≤ 1; dann ist das keine Funktion) }
• f2(x) = -4x -1 für x ∈ D2 = { x ∈ IR | -1 ≤ x ≤ 2 }
• f3(x) = 3x -15 für x ∈ D3 = { x ∈ IR | x > 2 }

haben abhängig von ihrem jeweiligen Definitionsbereich D1, D2, D3 die Wertebereiche

• f1(D1) = ( -∞, 3] = W1
• f2(D2) = [-9; 3] = W2
• f3(D3) = [-9; ∞ ) = W3

Dabei bestimmst du im Allgemeinen...

...für streng monoton steigende Funktionsäste

• das kleinste Element des Wertebereichs mit dem kleinsten Element des Definitonsbereichs und
• das größte Element des Wertebereichs mit dem größten Element des Definitonsbereichs

...und für streng monoton fallende Funktionsäste

• das kleinste Element des Wertebereichs mit dem größten Element des Definitonsbereichs und
• das größte Element des Wertebereichs mit dem kleinsten Element des Definitonsbereichs

. . .

Bemerkung: Wie mir jetzt auffällt, hat die Funktion f als ganze in deinem Fall überhaupt keine Umkehrfunktion f^(-1), weil die Wertebereiche einander überschneiden.

Die Schreibweise " f ( f^(-1) ( [-1; 4]) ) " ist daher nicht definiert.

Das Werteintervall [-1; 4] schneidet die Wertebereiche wie folgt:

• [-1; 4] ∩ W1 = [-1; 4] ∩ ( -∞, 3] = [-1; 3] = S1
• [-1; 4] ∩ W2 = [-1; 4] ∩ [-9; 3] = [-1; 3] = S2
• [-1; 4] ∩ W3 = [-1; 4] ∩ [-9; ∞ ) = [-1; 4] = S3

Weiter haben die drei Äste f1, f2, f2 der Funktion f die Umkehrfunktionen

• x = 2y +5 ⇔ f1^(-1)(x) = x/2 - 5/2
• x = -4y -1 ⇔ f2^(-1)(x) = -x/4 -1/4
• x = 3y -15 ⇔ f3^(-1)(x) = x/3 +5

Die jeweiligen Urbilder der Schnitte berechnen sich mit der Umkehrfunktion des jeweiligen Funktionsasts:

• U1 = f1^(-1) (S1) = [-3; -1]
• U2 = f2^(-1) (S2) = [-1; 0]
• U3 = f3^(-1) (S3) = [14/3; 19/3]

Dabei bestimmst du speziell...

...für die streng monoton steigenden Umkehrfunktionen

• das kleinste Element von U1 bzw. U3 mit dem kleinsten Element von S1 bzw. U3 und
• das größte Element von U1 bzw. U3 mit dem größten Element von S1 bzw. U3

...und für die streng monoton fallende Umkehrfunktion

• das kleinste Element von U2 mit dem größten Element von S2 und
• das größte Element von U2 mit dem kleinsten Element von S2.
  

Also ist das gesuchte Urbild insgesamt die Vereinigungsmenge

[-3; -1] ∪ [-1; 0] ∪ [14/3; 19/3] =

[-3; 0] ∪ [14/3; 19/3],

wie angegeben.

Weil es genau neun sind, fällt mir ein.

Quille aux quilles!

...und wer das Wortspiel versteht, verdient es auch. Die Köpfe derselben ließen sich dann individuell ausgestalten. Bezieht leider den Lehrer nicht so richtig mit ein - oder gerade, als boule...