Mathe - krank, nun versteh ich gar nix mehr.
Hallo zusammen,
ich lag wegen einer Bronchitis mehrere Wochen Zuhause krank im Bett und konnte nicht am Unterricht teilnehmen. Wir haben ein neues Thema und ich versteh gar nix. Ihr müsst mir ja nicht die Lösung sagen, ich würde nur gerne wissen wie ich das berechne.
"In die kegelförmige Spitze eines kreisrunden Turms (die Spitze ist 8m hoch) mit dem Durchmesser 10 m soll ein zylindrischer Wasserbehälter eingebaut werden. Wie sind die Maße dieses Behälters zu wählen, damit er möglichst viel Wasser aufnehmen kann?"
Vielen Dank im Voraus Mit freundlichen Grüßen Kazahm
7 Antworten
A. Die Formulierung der Aufgabenstellung ist kritikwürdig.
(1) Eine Turmspitze ist ein Punkt und also nicht kegelförmig. Gemeint ist wohl ein Turmhelm, aber warum wird dieser dann nicht so bezeichnet?
(2) Die bisherigen Antworten gehen stillschweigend davon aus, dass die Drehachse z des gesuchten Zylinders mit der Drehachse t des Turms übereinstimmt; der Zylinder also "mittig" in der Turmspitze "steht". z und t sind aber Geraden im Raum; sie könnten auch parallel, aber nicht identisch sein, einander schneiden oder windschief sein. Dann "steht" der Zylinder "seitlich verschoben", "liegt" oder ist "schräg" in die Turmspitze eingepasst. Und wieso sollte das nicht so sein? Die Maße eines solchen Zylinders werden von den bis jetzt hier vorgeschlagenen Rechnungen gar nicht erst erfasst.
Mein mathematisches Bauchgefühl sagt, dass die gesuchte Lösung durchaus ein "mittig" in der Turmspitze "stehender" Zylinder ist; ein mathematischer Beweis dafür fehlt aber. Dieser wäre auf analytischem Wege einigermaßen anspruchsvoll, weil damit zwei Variablen mehr in die Rechnung eingeführt werden müssten (für den Winkel, den die Richtungen von t und z bilden, und für deren Abstand). Außerdem schneiden die Ebenen, in denen die den Zylinder begrenzenden, kongruenten Kreise k1 und k2 liegen, die Turmspitze in Kegelschnitten, und k1 und k2 sind diesen Kegelschnitten einbeschrieben. Also ist noch für je eine Anordnung von t und von z zu überlegen, wie der kleinere der Radien von k1 und k2 optimal in den jeweiligen Kegelschnitt eingepasst werden kann, und welcher Abstand von k1 und k2 zueinander ( = Höhe h des Zylinders) dann möglich ist; das macht die Rechnung auch nicht gerade einfacher.
Ich wüsste nicht, wie das ohne Vektorrechung und Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Unabhängigen gehen soll; Vorwissen über Kegelschnittgleichungen und Parameterdarstellung von Kreisen im Raum wäre auch nicht schlecht. Insgesamt ist das dann wohl eher Stoff für eine ganze Facharbeit der Oberstufe... Das alles entfiele, wenn der Aufgabentext eine Angabe über die Lage von t und von z enthielte - was aber nicht der Fall ist.
B. Unter den in A. formulierten Vorbehalten führt Ellejolka weiter. - Erläuternder Kommentar:
Der Strahlensatz bezieht sich auf die Schnittfigur von Zylinder und Turmspitze mit einer Ebene, die Achse t = z (s.o. A.) enthält. Dabei ist:
- 8 ist die gegebene Höhe der Turmspitze
- h ist die gesuchte Höhe des Zylinders,
- 5 ist der gegebene Radius des Turms
- r der gemeisame Radius der Kreises k1 und k2 (s.o. A.)
Tipps für die Lösung auf diesem Wege:
- Es ist weniger Rechenaufwand, nach 5h umzustellen (statt nach h)
- Die Nullstellen der Zielfunktion 5 V =... lassen sich vom Funktionsterm der rechten Seite ablesen. Die Faktor "5" vor V spielt für die Nullstellen keine Rolle.
- Jede ganzrationale Funktionen dritter Ordnung ist zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch (1).
- Für ganzrationale Funktionen dritter Ordnung mit einer doppelte Nullstelle gilt: Die doppelte Nullstelle n1,2 ist immer ein Extremum. Es gibt immer eine weitere reelle Nullstelle n3. Die x-Werte des Wendepunkts und des anderen Extremums teilen die Strecke auf der x-Achse zwischen n1,2 und n3 in drei gleiche Teile; beachte hierbei Bemerkung (1).
Der Radius des gesuchten Zylinders ist 10/3 (m).
Kazahm, ne also so läuft der Hase nicht. Wir können dir hier nicht deine Methematischen Probleme klären, denn jeder könnte es anders lernen und anders berechnen. Also bitte finde da eine andere Lösung, ich gebe dir da einen Tipp: "Frage deinen Lehrer/In, nach dem Unterricht oder vor dem Unterricht, je nach dem", ob er/sie dir das nochmal genau erklären könnte. Wenn du Krank warst und mitkommen möchtest, wird sie wohl Verständniss dafür einbringen, sonst hätte ich mit der Schulleitung gesprochen. Krank sein ist keine Schande, mich als Lehrer/In würde dies freuen, wenn sich da jemand so für einsetzt. Liebe Grüße
Hallo,
das was du da hast musst du dir in etwa so herleiten: Du kannst ja für jede Höhe h im Kegel den Radius des größtmöglichen Zylinders herausbekommen, dadurch dass du weißt, wie groß der Radius an der Grundfläche sowie wie hoch der Kegel ist. Den Volumen des Zylinders berechnest du ja mit V=hπr². Da du nun für jede Höhe h sagen kannst, wie groß r sein muss, kannst du r durch einen Term mit h ausdrücken. Diesen Term kannst du nun in die Formel von V einsetzen. Was du erhältst ist das Volumen in Abhängigkeit von h. Da dies nichts anderes als eine Funktion ist, kannst du nun die Hochstelle des Graphen berechnen. Mit Hilfe des h, welches du erhältst, kannst du nun auf die Ausmaße deines Zylinders mit größtmöglichem Volumen schließen.
Ich hoffe, dass das nicht all zu kompliziert war... Kannst ja sonst nochmal nachfragen ;)
MfG
BattleEdition
Da hier die Ableitung einer erst einmal zu errechnenden Funktion gemacht werden muss (wegen Maximum), ist die Rechnung gar nicht so einfach. Da hast du mit deiner Krankheit ausgesprochenes Pech gehabt. Ich würde dir empfehlen, einen Mitschüler heranzuziehen, der es gemeinsam mir dir durchgeht, wie man es macht. Den Lehrer zu fragen, ist natürlich gut, um dein Interesse zu zeigen. Dir das als Einzelner zu erklären, erfordert jedoch eine Menge Zeit. Deshalb wäre es eben besser, jemand aus deiner Klasse zu finden, der die Materie beherrscht.
skizze und Strahlensatz; h und r vom Zylinder
r/5 = (8-h)/8 nach h umstellen und in V=pi * r² * h einsetzen, dann V ableiten und =0 usw
Die Selbstbezeichnung Spiesser ist für diese Art der Antwort recht passend gewählt...