Analysisaufgabe: R\Z offen.
Hey,
ich muss in einer meiner Aufgaben zeigen, dass R\Z offen ist und habe recht wenig Ahnung wie ich da vorgehen muss. Bis jetzt hab ich nur raus, dass das Komplement dazu, also Z c R abgeschlossen ist.
Kann mir jemand einen Ansatz geben?
Danke schonmal!
2 Antworten
Ich würde hier nicht das Komplement bemühen.
Sondern ich stelle mir die Lage der Elemente von R\Z auf einem Zahlenstrahl vor, der bei den Elementen von Z "Löcher" hat. Für jedes Element des Zahlenstrahls zwischen den Löchern lässt sich eine hinreichend kleine Umgebung konstruieren, die das nächstgelegene Loch nicht enthält (und also ganz in R\Z enthalten ist). Mehr ist nicht zu zeigen.
Geometriefreie Formulierung:
Zu jedem Element r von R\Z gibt es eine größte ganze Zahl a < r und eine kleinste ganze Zahl b > r. Wähle δ > 0 mit δ < min(r-a, b-r). Dann liegen alle Elemente einer δ-Umgebung von r in R\Z, q.e.d.
Eine alternative Beweisidee zu psychironikers:
R \ Z ist offensichtlich die Vereinigung aller Intervalle der Form (n, n+1) für ein natürliches n. Das sind alles offene Intervalle, also offene Teilmengen von R.
Damit ist R \ Z als (wenn auch unendliche) Vereinigung von offenen Mengen aber wiederum offen.
Das ist ein etwas "faulerer" Beweis als der von psychironiker, weil man sich nicht die Mühe macht, konstruktiv Umgebungen zu den Punkten in R \ Z zu basteln.
für ein natürliches n
Ohje, hier muss es "für ein ganzes n" heißen, aber das war hoffentlich klar...
Ich war davon ausgegangen, dass eine "offene Menge" einfach ein Element der Standardtopologie auf den reellen Zahlen ist. Und Topologien haben per Definitionem die Eigenschaft, dass beliebige Vereinigungen ihrer Elemente wieder in der Topologie liegen (also "offen" sind).
Falls das nicht der Fall ist, so sind "offene Mengen" in metrischen Räumen ja dadurch definiert, dass sie jedes ihrer Elemente umgeben ("für jedes Element x der Menge gibt es eine offene Kugel um x, die vollständig in der Menge liegt").
Ist nun x ein Element der Vereinigung von offenen Mengen, dann liegt x in irgendeiner dieser offenen Mengen. In dieser muss dann auch eine offene Kugel um x enthalten sein.
Diese Kugel liegt damit aber auch in der Vereinigung. Daher ist die Vereinigung offen.
(1) Schönheitsfehler: Intervalle mit natürlichzahligen Grenzen sind eine echte Teilmenge derjenigen mit ganzzahligen. - Lässt sich einfach beheben, indem alle Intervalle mit ganzzahligen Grenzen betrachtet werden.
(2) Ansonsten genial: Der "faulere" Beweis ist der bessere, insoweit er einfacher ist. Wie aber beweist du (in der erforderlichen Allgemeinheit), dass eine Vereinigung offener Mengen offen ist?