Wie muss ich bei dieser Analysisaufgabe vorgehen?
Hallo,
ich habe heute Mathehausaufgaben aufbekommen zum Thema Ableitung. Leider komme ich bei den Aufgaben d und e nicht weiter und hoffe, jemand könnte mir sagen, wie ich vorgehen muss. :)
Bei Aufgabe d wäre mein Ansatz gewesen, die Funktionsgleichungen s(t) und v(t) gleichzusetzen, aber das Ergebnis liegt dann bei 0. Das macht aber keinen Sinn, weil in der Aufgabe steht, dass es um einen Zeitpunkt zwischen Beginn und Ende geht und der Punkt (0/0) der Beginn ist.
Bei der Aufgabe e dachte ich zunächst, dass der Wendepunkt etwas damit zu tun haben könnte, aber in dieser Aufgabe ist die Ableitung gar nicht gefragt glaube ich. Muss ich etwas mit der Funktionsgleichung v(t) berechnen?
Vielen Dank im Voraus für alle hilfreichen Antworten!
3 Antworten
s gibt eine Strecke an und v eine Geschwindigkeit - die kannst Du daher auch gar nicht gleichsetzen!
Stattdessen kennst Du die gefahrene Strecke (=s(3)) und die gefahrene Zeit (3 Stunden). D. h. mit s(3)/3 erhältst Du die durchschnittliche Geschwindigkeit des Fahrers über die gesamte Radtour in km/h. Mit diesem Wert musst Du v(t) gleichsetzen.
e) Deine erste Überlegung war richtig. Die Ableitung gibt die Steigung an, was in diesem Fall die Geschwindigkeit ist; und am Wendepunkt ist die Steigung am größten...
also d) ist ja noch relativ machbar:
Um zu zeigen, dass die Geschwindigkeit des Radfahrers zu mindestens einem Zeitpunkt genau so groß ist wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit, können wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung verwenden.
Zuerst berechnen wir die durchschnittliche Geschwindigkeit des Radfahrers über das Intervall [0, 3]. Dies ist das Integral der Geschwindigkeitsfunktion geteilt durch die Länge des Intervalls:
v= 1/3 intervall [0,3] (-21thoch2 + 63t) dt
Dann setzen wir die Geschwindigkeitsfunktion v(t) gleich der durchschnittlichen Geschwindigkeit v und lösen nach t auf:
-21thoch2 + 63t = v
Die Lösungen für t geben uns die Zeitpunkte, zu denen die Geschwindigkeit des Radfahrers genau seiner Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht.
Die durchschnittliche Geschwindigkeit v des Radfahrers über das Intervall [0, 3] beträgt 31.5 km/h.
Um die Zeitpunkte zu finden, zu denen die Geschwindigkeit des Radfahrers genau seiner Durchschnittsgeschwindigkeit entspricht, setzen wir die Geschwindigkeitsfunktion v(t) gleich 31,5 km/h und lösen nach t auf:
-21thoch2 + 63t = 31.5
Die lösungen für t sind:
t1 = 3 - √3 durch 2
t2 = 3 + √3 durch 2
Das bedeutet das die geschwindigkeit des radfahrers zu den zeitpunkten t1 und t2 genau seiner durchschnittsgeschwindigkeit von 31.5 kmh entspricht
Da beide Lösungen im Intervall [0, 3] liegen, bestätigt dies die Aussage, dass die Geschwindigkeit des Radfahrers zu mindestens einem Zeitpunkt genau so groß ist wie seine Durchschnittsgeschwindigkeit. In diesem Fall gibt es sogar zwei solcher Zeitpunkte.
e) 1. verstehe ich selbst irgendwie nicht, dort fehlen meiner meinung nach angaben...
2.
Antwort a) angenommen er erreicht seine Maximalgeschwindigkeit genau um 11:15 Uhr und hält diese geschwindigkeit 3 Stunden:
Strecke = Geschwindigkeit * Zeit
Strecke = 30 km/h * 3 = 90km
Antwort b) Wenn er die geschwindigkeit um 11:45 Uhr erreicht und diese geschwindigkeit 2,5 stunden hält:
Strecke = 30 km/h * 2,5 h = 75 km
Das ist dann jetzt nur geschätzt aber immerhin etwas; da wir den genauen Zeitpunkt nicht kennen, an dem er seine Maximalgeschwindigkeit erreicht hat, liegt die zurückgelegte Strecke zwischen 75 km und 90 km.
f(t) = -21t² + 63t
s(t) = -7t³ + 31.5t²
.
von oben : s(30) ist Fahrer gefahren
s(30)/3 ist die Durchschnittsgeschwindigkeit
(31.5 sollten es sein)
.
hast du ja schon in b) festgestellt :))
.
d) v(t) = 31.5
= -21t² + 63t ...........-31.5 und durch -21
0 = t² - 3t + 1.5
p = -3 , q = 1.5
wurzel( 2.25 - 1.5 ) ist trotzder geraden Zahlen hier mit w(3/4) = 0.5*w(3) krumm
.
e)
Das Maximum der Parabel (v(t)) liegt beim Scheitelpunkt (oder mit Abl. s.u.)
-21 * ( t² - 3t) , also bei - - 3/2 = 1.5 = t_max
.
er fährt laut aufgabe noch weitere 1.5 h mit der v_max von 31.5 km/h
.
.
Interessanterweise kann man die Aufgabe ohne Ableitung bearbeiten ( abl -42t + 63 = 0
t = -63/-42 = +1.5