Muss man hier beweisen, ob es ein HP oder TP ist?
Wasserbehälter hat nach längerer Trockenheit bei einem Regen eine Zufluss-rate, die durch die Funktion f mit /(x) = 500x2 • e^-x/2 näherungsweise beschrieben wird (x in Stunden, x ≥ 0, f(x) in Liter pro Stunde). Zu Beginn ist der Behälter noch leer.
- Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Zuflussrate am größten ist. Wie groß ist sie dann?
= x=4 ist die Lösung und der Punkt wäre dann (4|1082,6)
Meine Frage:
Es gibt in der Aufgabe nur eine Extremstelle, deshalb habe ich mit der 2.Ableitung nicht überprüft, ob es ein HP oder TP ist. Ich dachte mir, dass man es hier nicht überprüfen muss, weil die Funktion sowieso nur eine Extremstelle hat und wenn gefragt ist, wann die Zuflussrate am höchsten ist, dann kann es doch nur dieser eine Punkt sein.
Was denkt ihr? Muss man bei dieser Aufgabe zwingend die Überprüfung mit der 2. Ableitung machen?
2 Antworten
Wenn klar ist, dass es einen einzigen HP oder einen einzigen TP geben muss, sollte das Finden der (einzigen) Extremstelle über die erste Ableitung ausreichen.
Es muss aber mindestens begründet werden, warum es hier nur einen HP geben kann.
Hier könnte man wohl argumentieren, dass der Behälter anfangs leer ist und die Zuflussrate nicht negativ sein kann (weil der Behälter kein Loch hat).
Eine formalere Begründung wäre, dass sowohl
als auch
nicht negativ sein können und das Produkt dann auch nicht.
auch wenn es nur ein Extremum gibt, muss man doch zeigen , dass es ein HP ist .
Was man aber auch ohne die zweite Ableitung erledigen kann .
Wenn f(3.9) und f(4.1) beide kleiner sind als f(4) ist es ein Max . Ob ihr das dürft ist eine andere Frage .
so schlimm ist f''(x) auch nicht zu ermittel
.
Die Frage lässt es aber offen . Kann sein , dass derdie Lehrerin auch sagt : Wozu die Mühe , war doch klar .
