E Funktion schwierig Klausur brauche dringend hilfe?

Hallo liebe Community

Habe folgende Aufgabe gegeben

Verstehe aber leider nicht wie ich auf die Ableitungen und somit die Extremstellen etc komme

Könnte mir das bitte einer mit Rechnung erklären (reine Theorie bringt mir nicht viel)

Ich wäre euch echt sehr sehr dankbar da es seien kann das sowas in meiner Prüfung drankommt

Vielen vielen Dank

Answer 1

[Piddle]

Zunächst mal zu der Aufgabenstellung "Bestimmen Sie den Definitionsbereich": Sie scheint in Schultexten unausrottbar zu sein, ist aber einfach Quatsch. Eine Funktion ist nämlich nicht irgendein "Murks, in dem ein x vorkommt" und bei dem man nun hinterher nachsieht, für welche Werte von x er überhaupt Sinn ergibt. Aber so wird der Funktionsbegriff leider in Schulen oft malträtiert, wie offensichtlich auch bei euch. Und dann ergibt sich natürlich (da ihr ja wahrscheinlich als zu betrachtenden Maximalbereich die Menge aller reellen Zahlen nehmen sollt - was natürlich auch nicht da steht...) als Antwort hier die Menge aller positiven reellen Zahlen. Natürlich hätte ich auch gleich sagen können, dass das wohl die "erwartete" Antwort ist. Mathematik hat aber nichts damit zu tun, Erwartungen eines Lehrers zu erfüllen, sondern auf Fragen mit ordentlich definierten Begriffen ebenso ordentliche Antworten zu finden - egal was irgendein Lehrer sich eigentlich vorgestellt hätte. In der Schulen wird man eben zum buckelnden Rapportieren abgerichtet, während die Grundhaltung des Mathematikers die der Freiheit ist. Aber lassen wir das. Jedenfalls gehört zur Angabe einer Funktion im Vorwege die Angabe des Definitionsbereichs. Man kann nicht "irgendwas" hinschreiben und danach nach dessen Definitionsbereich fragen.

Dass die Funktion keine Nullstellen hat ist klar, weil jeder Funktionswert ein Produkt der zwei positiven Zahlen

$\frac{1}{x}\ \ ,\ \ \ e^{2\sqrt{x}}$ und damit selbst >0 ist. Eine Extremstelle kann höchstens dort vorliegen, wo die 1.Ableitung eine Nullstelle hat. Die Funktion ist Produkt der beiden Funktionen, deren Terme eben gerade genannt wurden; also kann man zur Berechnung der 1.Ableitung die Produktregel heranziehen. Wir schreiben den ersten Faktor als Potenz "x hoch -1" und erhalten

$f'\left(x\right)\ \ =\ \ \left(x^{-1}\right)'\ e^{2\sqrt{x}}\ \ +\ \ x^{-1}\ \left(e^{2\sqrt{x}}\right)'\ \ ,$ also nach Potenz- bzw. Kettenregel:

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ -x^{-2\ }e^{2\sqrt{x}}\ +\ x^{-1}\ e^{2\sqrt{x}}\ 2\cdot\frac{1}{2}\ \cdot x^{-\frac{1}{2}}\ ,$ was sich zusammen fassen lässt zu

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ f\left(x\right)\ \cdot x^{-1\ }\cdot\ \left(-1+x^{\frac{1}{2}}\right)$ Da hierin die ersten beiden Faktoren niemals 0 sind, ist die erste Ableitung gleich 0 genau dann, wenn die eingeklammerte Summe gleich 0 ist, d.h. genau dann, wenn x = 1 gilt.

Für das Vorliegen einer Extremstelle ist das Verschwinden der 1.Ableitung allerdings nur eine notwendige, keine hinreichende Bedingung. Die eben erhaltenen Gleichung für f' besagt:

$f'\left(x\right)\ \ =\ \ f\left(x\right)\ \cdot\ \left(x^{-\frac{1}{2}}\ -\ x^{-1}\right)$ und damit gilt für die 2.Ableitung nach Produktregel:

$f''\left(x\right)\ \ =\ \ f'\left(x\right)\left(x^{-\frac{1}{2}}\ -\ x^{-1}\right)\ +\ f\left(x\right)\left(x^{-\frac{1}{2}}\ -\ x^{-1}\right)'$ also durch erneutes Ersetzen von f' mittels der vorigen Gleichung und dann Ausklammern von f(x):

$f''\left(x\right)\ =\ f\left(x\right)\left(\left(x^{-\frac{1}{2\ }}-\ x^{-1\ }\right)^{2\ \ \ }\ -\ \frac{1\ }{2\ }\ x^{-\frac{3}{2}}\ +\ x^{-2\ }\right)$

und damit

$f''\left(1\right)\ =\ f\left(1\right)\ \cdot\frac{1\ }{2\ \ }\ >\ 0$

Danach ist 1 einzige Extremstelle, und zwar ein Minimum.

(Man sollte stets so organisieren, dass man wenig konkret zu rechnen hat! )

Comments

[Zeldafan2000]

Ok danke aber wie kommst du bei der 1. Ableitung (per potenzregel )

Auf den dann zusammengefassten term

Verstehe nicht ganz was da zusammengefasst wurde?

Vielen Dank schonmal

[Piddle]

@Zeldafan2000

f(x) 
= x^(-1) · e^(2·\sqrt(x)).

Also ist der erste Summand in der Darstellung von f'(x) gleich

f(x) · x^(-1) · (-1)

und der zweite Summand gleich

f(x) · x^(-1/2)
= f(x) · x^(-1) · x^(1/2).

Also kannst du aus der Summe den Term

f(x) · x^(-1)

herausziehen (ausklammern), und in der dann auftretenden Klammer verbleibt -1 + x^(1/2).
Es ergibt sich also die Gleichung

f'(x) =
f(x)·x^(-1)·(-1 + x^(1/2))

(=f(x)·(x^(-1/2)-x^(-1)) )

Answer 2

[bert00712]

Reine Theorie bringt nichts? Man muss da bloß die übliche "Anleitung "durchgehen.

Produktregel:

• f'(x) = g(x)' * c(x) +g(x) * c'(x)
• g(x) = 1/x
• g'(x) = -1/(x^2)
• c(x) = e^(2*x^0,5)
• c'(x) = e^(2*x^0,5) * x^(-0,5) (Kettenregel)
• f'(x) =-1/(x^2) * e^(2*x^0,5)+ 1/x * e^(2*x^0,5) * x^(-0,5)
• =e^(2*x^0,5) *(x^(-1,5) - x^(-2)) (ggf. Potenzen in "echte" Wurzeln und Brüche umwandeln)
• e^(2*x^0,5) *(x^(-1,5) - x^(-2)) = 0, wenn (x^(-1,5) - x^(-2)) = 0
• x^(-1,5) = x^(-2))
• x^(3/2) = x^2
• 1 = x^(0,5)
• x = 1

2 . umständliche Ableitung berechnen:

f''(x) = -((-2*x^(13/2)+5*x^6-4*x^(11/2))*e^(2*sqrt(x)))/(2*x^(17/2))

f''(1) > 0 => Minimum

Answer 3

[fjf100]

Hier gibt es keine Nullstellen

f(x)=1/x*e^(2*Wurzel(x))

Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

1/0 ist nicht definiert 1/x kann nicht NULL werden

e^(2*Wurzel(x)) mit x=0 ergibt e^(2*0)=e^(0)=1

mit x<0 ergibt sich keine reelle Zahl siehe Mathe-Formelbuch komplexe Zahlen

mit x>0 kann also e^(2*Wurzel(x)) nicht zu Null werden

Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung * äußere Ableitung

spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²

elementare Ableitungen f(x)=e^(x) abgeleitet f´(x)=e^(x)

u=1/x abgeleitet u´=du/dx=-1/x²

v=e^(2*x^(0,5)) Substitution (ersetzen) z=2*x^(0,5)

z´=dz/dx=2*0,5*x^(-0,5)=1/x^(0,5)

f(z)=e^(z) f´(z)=e^(z)

v´=z´*f´(z)=1/Wurzel(x)

f´(x)=-1/x²*e^(2*Wurzel(x))+(1/x)*1/x^(0,5) nun e^(2*Wurzel(x)) ausklammern

f´(x)=e^(2*Wurzel(x)*(-1/x²+1/(x¹*x^(0,5))

Potenzgesetz a^r*a^s=a^(r+s)

x^1*x^0,5=x^1,5=x^(3/2)=2.te Wurzel(x³)

f´(x)=e^(2*Wurzel(x))*(1/x^(3/2)-1/x²)

f´(x)=0 wenn 0=1/x^(3/2)-1/x²)

1/x²=1/x^(3/2)

x^(3/2)/x²=x^(3/2-2)=x^(3/2-4/2)=x^(-1/2)=1/Wurzel(x)=1

Wurzel(x)=1/1=1

x=1²=1

x=1 ist eine Minimum habe ich mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) ermittelt

nun Prüfen,ob eine Maximum oder Minimum vorliegt.

noch mal ableiten

f´´(x)=.....

den Rest schaffst du selber.

Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0

Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 4

[Ellejolka]

D = IR ohne 0 und ohne negative Zahlen

Nullstellen keine, da weder 1/x noch e^.. jemals 0 wird.

Extrema ; f ' mit Produkt- und Kettenregel bilden.

Comments

[Zeldafan2000]

Ja und wie sehen die extremstellen abgeleitet aus

Das ist ja das was ich nicht verstehe

[Ellejolka]

@Zeldafan2000

da fehlt das Zauberwörtchen! Und probier erstmal, die Formeln für Produkt- und Kettenregel zu suchen; vielleicht wird dir dann geholfen.

[Zeldafan2000]

Bitte (: wäre sehr nett

[Ellejolka]

@Zeldafan2000

schreib mal so

x^-1 • e^....

Produktregel

-1/x² • e^.... + 1/x • x^-1 • e^...

und jetzt sagst du, was du genau nicht verstehst. :)