Produktregel und Extremstellen?
Hallo, ich schreibe bald eine Klausur zum Thema zusammengesetzte Funktionen und mache grad die Produktregel. ich komme jedoch bei einer Aufgabe nicht weiter bzw. bin verwirrt.
aufg) Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung der Funktion f und untersuchen sie f auf Extremstellen.
a)x*e^x
Meine 1. und 2.Ableitung
Ich versteh jz nun nicht warum meine zweite Ableitung genau die gleiche ist wie die erste Ableitung.
4 Antworten
Du hast falsch ausgeklammert. Die Ausklammerung bei f''(x) muss lauten:
Du hast dich beim Zusammenfassen einfach verrechnet:
e^x(1 + x) + e^x * 1 ist nach Ausklammern von e^x:
= e^x(1 + x + 1) = e^x(2 + x).
So funktioniert Ausklammern einfach - beim ersten Mal hast du es ja sogar richtig gemacht.
Wir setzen a = e^x, b = (1 + x) und c = 1.
Dann gilt:
e^x(1 + x) + e^x * 1
= a * b + a * c | a ausklammern
= a(b + c)
= e^x(1 + x + 1).
Vermutlich wurdest du nur verwirrt, weil das b ja diesmal aus einer Summe bestand ;)
f(x) = x * e^x
u = x u' = 1
v = e^x v' = e^x
f' = uv' + vu'
f'(x) = x * e^x + e^x * 1
= e^x (x + 1)
2. Ableitung:
u = e^x u' = e^x
c = x + 1 v' = 1
f''(x) = e^x * 1 + e^x *(x+1)
= e^x (1 + x + 1)
= e^x (x + 2)
Die 1 darfst du nicht vergessen, sonst
kannst du nicht zurückrechnen!
(In der 1. Ableitung hatte das noch
geklappt.)
Beim letzten Schritt hast du falsch zusammengefasst.
e^x*((1+x)+1) wäre richtig.
Aber warum kommt da +1 hin anstatt *1 weil vor der 1 steht ja ein * muss ich dann nicht das so hinschreiben?