Frage von theartistlina, 46

Wie kann man extremstellen von Funktionen ohne 2. Ableitung bestimmen?

Hallo :) Könnte ich sie einfach mit der Tangente am Punkt der größten steigung herausfinden?

Antwort
von FelixFoxx, 25

Eine Extremstelle einer Funktion hat immer die Steigung 0 und damit eine waagerechte Tangente. Allerdings gibt es auch Sattelpunkte, das sind Wendepunkte mit Steigung 0. Daher braucht man die zweite Ableitung, um bei den Nullstellen der ersten Ableitung zwischen Extremwerten (zweite Ableitung ungleich 0) und Sattelpunkten (zweite Ableitung gleich 0 und dritte Ableitung ungleich 0) zu unterscheiden.

Antwort
von surbahar53, 27

Wenn die 1. Ableitung eine Nullstelle aufweist, könnte es sich um einen Extremwert handeln. Fehlt die 2. Ableitung, untersucht man die Umgebung der Nullstelle der 1. Ableitung.

Ist das Vorzeichen der 1. Ableitung vor der Nullstelle negativ und danach positiv,  handelt es sich um ein lokales Minimum.

Ist das Vorzeichen der 1. Ableitung vor der Nullstelle positiv und danach negativ,  handelt es sich um ein lokales Maximum.


Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 8

Dass man mit der ersten Ableitung die Steigung einer Funktion bestimmt, weißt Du. Also berechnest Du mit den Nullstellen von f´ diejenigen Stellen, an denen eine waagerechte Tangente vorliegt.

Wie kannst Du nun entscheiden, ob Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt? Ebenfalls mit der Steigung. Beispiel: Bei einem Hochpunkt muss der Graph links von der Extremstelle steigen, rechts davon fallen.

Langt das?

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 2

Eventuell könntest du den Differenzenquotienten alternativ verwenden. :/

Kommentar von Suboptimierer ,

Auch vielleicht eine Option für dich: https://de.wikipedia.org/wiki/Downhill-Simplex-Verfahren

Antwort
von SwaggerBoy2006, 12

Ganz einfach du bildest die erste .... dann hast du die extrema

Kommentar von Rhenane ,

Hat dann f(x)=x³ bei x=0 einen Hoch- oder Tiefpunkt?
Oder vielleicht doch keins von beidem...

Kommentar von Tannibi ,

f(x)=x³ hat keine Extrema, weder Hoch- noch Tiefpunkt.

Kommentar von Willy1729 ,

Das erkennst Du aber nicht allein aufgrund der ersten Ableitung, denn die ist für x=0 ebenfalls 0, was ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle ist.

Kommentar von Tannibi ,

Man solte es aber ohne die zweite Ableitung machen.

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