Es geht wohl darum zu erkennen, welches Vorzeichen das Produkt zweier Zahlen hat.

MERKE: Haben zwei Faktoren daselbe Vorzeichen, ist das Ergebnis positiv; haben zwei Faktoren unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis negativ.

Beispiel: Aufgabe a)
Auf der linken Seite wird eine positive Zahl (+12) von (+8) subtrahiert; hier stehen zwei unterschiedliche Rechen-/Vorzeichen direkt hintereinander. Das Ergebnis von -(+12) ist also negativ; das Gesamtergebnis ist kleiner als (+8).
Auf der rechten Seite steht fast dasselbe, nur steht vor der zweiten Klammer nun ein "+". Da beide Seiten gleich sein sollen [in der Miitte steht ein Gleichheitszeichen], müssen auch hier zwei unterschiedliche Rechenzeichen/Vorzeichen hintereinander stehen. Also muss in der zweiten Klammer "-12" stehen.

Das war jetzt etwas rezeptartig erklärt, aber vielleicht hilft es ja erst mal weiter.

Wie ist in der Mathematik der Begriff "Drache" definiert"? Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale die andere Diagonale halbiert.

Also kann ein Drachen auch so aussehen (siehe unten):

Hier teilt AC die Digonale BD genau in der Mitte.

Schließen die Diagonalen einen rechten Winkel ein (so wie man sich einen Drachen vorstellt), erhält man einen symmetrischen Drachen.

"F~E" heißt : F ist ähnlich zu E. Welche Figur als Original angesehen wird, ist m.E. nicht unbedingt eindeutig.

Hier steht aber "F~E,K= 2/3". Da E kleiner ist als F, müsste F als das Original angesehen werden. Denn k gibt an, mit welchem Faktor ich jede Teilstrecke von F multipliziert werden muss, um auf die Längen der Bildfigur zu kommen. (Dazu misst Du entsprechende Längen aus und bildest dann den Quotienten.)

Umgekehrt dann "E~F, K= 3/4" Hier wird E als Original angesehen. Jedoch muss hier k = 3/2 sein, also genau der Kehrwert des anderen Streckfaktors. Offensichtlich liegt hier ein Tippfehler vor (Deiner oder einer im Buch)

Ist's nun klar?

cotangens ist die Umkehrfunktion zu tangens. Umkehrfunktionen werden in der Mathematik meist mit dem Exponenten -1 geschrieben. Mit einer Potenz (also hier: 1 / tangens) hat das nicht zu tun.

Da ist die Schreibweise selbst in der Mathematik mal nicht stringent. :-(

Da hast Du Dir selber gezeigt, dass Deine Vermutung eben nicht richtig ist. Diese Formulierung höre ich häufig - was sie aber nicht richtig macht. ;-)

Die Eigenschaft der Asymptoten (so wie hier der Begriff Asymptote gebraucht wird), bezieht sich auf die Annäherung durch den Graphen der Funktion für (betrags)große x-Werte (also große positive bzw. negative Zahlen).

Aber selbst dann kann der Graph einer Funktion seine Asymptote unendlich oft schneiden. Lass Dir mal die Funktion g(x) = sin(x) / x zeichnen. Die hat unendlich viele Nullstellen und konvergiert gegen y = 0.

zur Aufgabe: "ganzzahliges Vielfaches von 1/2" bedeutet: der Flächeninhalt muss sich darstellen lassen als k · 1/2, wobei k eine ganze Zahl ist.
(als Kommazahl: der Flächeninhalt mus auf ...,0 oder ...,5 enden)

zur Lösung:

erstes Bild: ein Eckpunkt des Dreiecks muss gleichzeitig ein Eckpunkt des Rechtecks sein. So lässt sich das Rechteck auf jeden Fall immer um das Dreieck legen.

zweites Bild: |DB| ist natürlich richtig!

Hilft das weiter/habe ich Deine Fragen richtig verstanden?

Ganz eindeutig (wie von Dir bemerkt): Die Funktion hat bei x = 1 eine Definitionslücke.
Kannst Du mit dem von Dir benutzten Programm einzelne Funktionswerte berechnen lassen? Dann versuche es doch mal mit f(1).

Das Problem, auf das Du gestoßen bist, kenne ich von vielen Zeichen-/Matheprogrammen.

Ich erkläre mir das folgendermaßen:

Für die Zeichnung ist ein bestimmtes Intervall definiert. Auf diesem Intervall werden natürlich nicht alle (unendlich vielen) Funktionswerte berechnet, sondern (ich denke mir jetzt mal eine Zahl aus) nur 583. Vom linkesten x-Wert aus werden die x-Werte also immer um 1/582 der gesamten Intervallbreite vergrößert. Insoern ist es großer Zufall, wenn x=1 auch mit in die Berechnung einbezogen wird. Manche Programme kennzeichnen die Stelle im Graphen dann mit einem kleinen Kreis oder einer Lücke(von einem Pixel).

Benachbarte Punkte des Graphen werden dann durch eine kleine Strecke miteinander verbunden, so dass das Ganze optisch wie eine schöne, glatte Kurve aussieht (in Wahrheit aber ein Streckenzug ist).

Evtl. "merkt" das Programm ja auch, dass da nur ein einzelner Punkt fehlt und verbindet dann die beiden Punkt links und rechts der Lücke; auch hier wirkt der Graph dann durchgezeichnet.
(Ein ähnliches Problem taucht für das Programm ja auch auf, wenn Punkte des Graphen unter oder oberhalb des dargestellten Intervalls der y-Werte liegen. Auch diese werden ignoriert.)

Wie gesagt: Das sind meine Vermutungen - die für mich aber plausibel klingen :-)

a) Produktregel, denn: 4x · e^(-0,5x) ist ein Produkt

b) Kettenregel, den: e^(-0,5x) ist eine verschachtelte/verkettete Funktion

Daneben noch ein paar weitere, die aber wohl nicht zu erwähnen sind ;-)

Du kennst doch die Modellfunktion für das Seil schon.

Also brauchst Du "nur noch" für x den passenden Wert einsetzen, um die Höhe des Seiles zu berechnen. Dabei kommt Dir die Angabe des Abstandes der Stützpfeiler zugute...

Beachte: Die y-Achse geht durch den Scheitelpunkt, also genau durch die Mitte.

Beim Abstand der Flugzeuge spielt auch die Zeit eine Rolle. Hier musst Du bei beiden Geraden mit demselben Parameter (t) arbeiten. Dabei musst Du darauf achten, dass der Richtungsvektor auch genau die Bewegung innerhalb einer Zeiteinheit angibt (wahrscheinlich in km/h).

Das scheinen mir irgendwie sehr wenig Angaben zu sein. Bei einer konkreten Geraden hast Du einen Ortsvektor/Stützvektor mit 3 Koordinaten und einen Richtungsvektor mit ebenfalls 2 Komponenten. Ich sehe aber insgesamt nur 2 Angaben :-(

Bei solchen Aufgaben ist es immer wichtig, sich eine Variable zu suchen und dann den Text in eine Gleichung zu überführen.

Was ist gesucht? Der Preis des Geschenkes; ich nenne ihn mal p.

Wie viel Geld haben die einzelnen Personen?
Dem ersten Kind fehlen 26 Franken; also hat es p-26. . . .

Nun fehlen immer noch 3 Franken (die der Vater zusteuert). Alle legen zusammen, dann langt es, um das Geschenk zu kaufen.

Also: Geld des 1. Kindes + Geld des 2.K. + ... + Geld vom Vater = p

Gleichung lösen - fertig :-)

(Meine Lösung entspricht in etwa der durchschnittlichen Anzahl der Tage eines Monats ;- ) )

Die 9 cm² müssen sich auf den kompletten Querschnitt beziehen - dann lässt sich x berechnen.

Die Fläche setzt sich nämlich aus dem unteren Rechteck (59 x 12) und dem oberen Trapez zusammen. Dessen Flächeninhalt berechnet sich nach der Formel
A = (a+c)/2 · h; hier: A = (31+x)/2 · 9

Ich habe dann x = 35/3 heraus.

Ich vermute mal, dass in Deiner Funktion ein Fehler ist, denn in der Klammer (-0.5+1.25) kommt keine Variable vor - so macht das wenig Sinn.

Zudem vermute ich, dass es bei der Exp.-Funktion e^(-0.25t^2+1.25t) heißen muss.

Bitte nimm zu meinen Vermutungen Stellung, denn das ist für die Beantwortung Deiner Frage sehr wichtig.

Sollte die von Dir gegebene Funktion bereits die Ableitung f´ einer Funktion
f(x) = 0,31 · e^(-0,25t²+1,25t)
gewesen sein, die Du nun erneut ableiten möchtest??

Wie sieht bei Euch eine Funktionsgleichung für einen exponentiellen Zu-/Abnahmeprozess aus? Es gibt da (mindestens) zwei Varianten. Ich gehe mal von der Form f(t) = A · e^(c·t) aus, das ist die gebräuchlichste. Dabei steht t für die Zeit in Jahren, f(t) für den Bestand nach t Jahren.

Du hast keine Ausgangsmenge vorgegeben; statt dessen ist von Prozentwerten die Rede. Daher setze ich A = 100 (für 100 %).

Nun musst Du für jeden einzelnen Stoff jeweils die Zerfallskonstante c berechnen. Dies geht mit der vorgegebenen Habwertzeit.

Beispiel Cäsium-134:
50 = 100 · e^(c·2)

Diese Gleichung nach c auflösen, und Du kennst das Zerfallsgesetz für Cäsium-134. Jetzt kannst Du Dich an die eigentliche Bearbeitung der Aufgaben a) und b) machen.

Bei a) setzt Du für t die entsprechenden Wert für t ein (vgl. UlrichNagel), bei b) ist f(t) vorgegeben: Wert einsetzen und die Gleichung nach t auflösen.

Soweit klar?

Wie viele Röhren liegen in jeder Reihe? Welche Art von Folge könnte das sein? Welche Parameter hast Du (n, d, q)? Dann entsprechende Formel anwenden.

Hier eine Vorgehensweise, die immer funktioniert, egal wie die Pyramide im Raum liegt:

Du stellst eine Ebenengleichung für die Grundebene E auf, am besten in Normalenform.

Da Lote senkrecht/orthogonal gefällt werden, legst Du eine zu E orthogonale Gerade l durch S: als Stützvektor dient S, als Richtungsvektor nimmst Du den Normalenvektor von E.

Nun schneidest Du l mit E; das ergibt den Lotfußpunkt.

Nimm Dir 'nen Schuhkarton, schreibe die unterschiedlichen Maße dran - dann bekommst Du die Gesamtkantenlänge (Länge aller Kanten) wohl heraus ;-)

Das sieht alles "zentriert" aus. Soll es alles links stehen? Oder willst Du vom linken Rand einen bestimmten Abstand haben? Oder...?

Das ist im Grunde ganz simpel: Du hast die beiden Geradengleichungen g und h mit je einem Orts- und einem Richtungsvektor.

Wenn die RVen nicht kollinear sind, brauchst Du nur die eine Geradengleichung durch den anderen RV zu ergänzen.

Sollten die Geraden parallel sein, kannst Du den zweiten RV dadurch erzeugen, dass Du einen Punkt von g mit einem Punkt von h verbindest (wie beim Aufstellen einer Ebenengleichung aus drei Punkten).

Mach Dir vllt. eine Skizze dazu