Wie kann eine gebrochen rationale Funktion bei ihrer Asymptote eine Nullstelle haben?
gemeint ist hier die waagrechte Asymptote die bei y=0 liegt (Bild folgt)
Ich dachte dass gebrochen rationale funktionen ihre Asymptote niemals berühren aber hier geht die funktion einfach durch die Asymptote hindurch.
Kann mir das einer erklären
7 Antworten
Da hast Du Dir selber gezeigt, dass Deine Vermutung eben nicht richtig ist. Diese Formulierung höre ich häufig - was sie aber nicht richtig macht. ;-)
Die Eigenschaft der Asymptoten (so wie hier der Begriff Asymptote gebraucht wird), bezieht sich auf die Annäherung durch den Graphen der Funktion für (betrags)große x-Werte (also große positive bzw. negative Zahlen).
Aber selbst dann kann der Graph einer Funktion seine Asymptote unendlich oft schneiden. Lass Dir mal die Funktion g(x) = sin(x) / x zeichnen. Die hat unendlich viele Nullstellen und konvergiert gegen y = 0.
y = 0 ist eine Asymptote, da sich die Funktion für x → –∞ und für x → +∞ an 0 annähert.
Wie bereits von anderen hier erklärt, kann eine Funktion ihre Asymptote durchaus schneiden.
Eine Asymptote ist eine Linie, der sich die Funktion für x → +- unendlich annähert (hier: y_A = 0) und da gibt es keine Berührung mit der Asymptote, wie Du schon richtig festgestellt hast (Schnitte sind aber möglich). Das Verhalten der Funktion im Umfeld des Koordinatenursprungs ist für die Asymptote nicht maßgebend.
Nach dem Motto: "Nichts ist unmöglich": Der Graph der Funktion
f(x) = (sin(x) + 1) / x
hat y = 0 als Asymptote und berührt diese unendlich oft
Wikipedia, Artikel Asymptote:
Eine verbreitete Auffassung, dass sich eine Funktion der Asymptote zwar nähert, sie aber niemals schneidet, stimmt nicht. Es gibt nämlich Funktionen, die ihre Asymptote mehrmals in ihrem Verlauf schneiden oder um die Asymptote oszillieren und sie unendlich oft schneiden.
Eine Asymptote kann durchaus geschnitten werden.