Schau dir mal die vierte Gleichung von unten an: Die hast du richtig gelöst (2 Lösungen, -1 und 11). Das ist allerdings im wesentlichen eine "stinknormale" quadratische Gleichung.

Nun sieh dir aber mal die 5. Gleichung von unten an: Da ist doch klar, dass dafür die 11 keine Lösung sein kann, denn links steht nach Einsetzen von 11 etwas Negatives, rechts etwas Positives. Dagegen ist -1 eine Lösung.

Wie ist das passiert? Beim Übergang von der 5t-letzten zur 4t-letzten Gleichung hast du beide Seiten quadriert. Dabei kann es aber sehr wohl passieren, dass die Gleichung nach dem Quadrieren eine Lösung mehr hat als die Gleichung vor dem Quadrieren. Die Simpelgleichung x=3 beschreibt ja schon ihre einzige Lösung (3). Wenn du aber auf die Idee kommst, erst mal beide Seiten zu quadrieren, so erhältst du: x²=9. Und diese Gleichung hat eben nicht nur die Lösung 3, sondern auch die Lösung -3.

Deswegen bleibt die Lösungsmenge nach Quadrieren nicht unbedingt dieselbe. Du formst mit dem Quadrieren nicht einfach die bestehende Gleichung um, sondern machst aus dieser eine Gleichung mit eventuell größerer Lösungsmenge! Daher musst du die Lösungen, die du am Ende aus nach deinen Schritten erhalten hast, stets in die allererste Gleichung einsetzen, um zu verifizieren, dass sie diese tatsächlich auch lösen - und nicht zu denen gehören, die unerwünscht durch die Quadrierschritte hinzugekommen sind. (Du quadrierst ja bei deiner Herleitung sogar mehrfach!)

Du darfst nicht eine Menge mit einer Relation auf dieser Menge verwechseln: "Wäre also eine Relation auf den natürlichen Zahlen, egal wie sie definiert ist, nur dann eine totale Ordnung, wenn sie die gesamte Menge der natürlichen Zahlen umfasst?" ist daher keine sinnvolle Frage. Eine Relation auf der Menge N der natürlichen Zahlen "umfasst nicht N", sondern ist eine Menge von Paaren natürlicher Zahlen.

Ein gutes Beispiel ist die Relation "teilt" auf N; sie besteht genau aus den Paaren (a,b) (mit a,b in N), bei denen b ein Vielfaches von a ist; also z.B. (3,12), (5,100), (2,2), (2,4) ... - aber nicht z.B. (12,4), denn 4 ist kein Vielfaches von 12. Weder (5,9) noch (9,5) gehört zu der Relation, weil weder 9 ein Vielfaches von 5 noch 5 ein Vielfaches von 9 ist. Man sagt in solchen Fällen: 5 und 9 sind bezüglich der Relation unvergleichbar. Als Symbol für die Relation "teilt" ist üblich: | . Statt zu sagen, dass ein Paar (a,b) ein Element von | ist, sagen wir: "a teilt b" und schreiben dafür: a|b.

(Allgemein benutzt man bei einer Relation R häufig die Schreibweise "aRb" statt zu sagen: "(a,b) ist Element von R".)

Bezüglich | tritt offensichtlich ganz oft der Fall ein, dass zwei Zahlen a, b unvergleichbar sind.

Es gibt aber Relationen, bei denen das nie passiert: Ein sehr wichtiges Beispiel dieser Art ist "kleiner oder gleich" (geschrieben: <=). Denn bei zwei natürlichen Zahlen a,b gilt stets a <= b oder b <= a. Anders gesagt: Je zwei natürliche Zahlen sind bezüglich <= vergleichbar. (Es kann sogar beides gelten: a <= b und b <= a, und zwar ist das genau dann der Fall, wenn a = b gilt.)

So kommt es zu einer wichtigen Definition: Eine Ordnungsrelation heißt totale Ordnung, wenn bezüglich ihr je zwei Elemente der betrachteten Menge vergleichbar sind. (Der Begriff der partiellen Ordnung ist allgemeiner, schließt aber totale Ordnungen nicht aus! Es muss bei einer partiellen Ordnung nicht unbedingt zwei unvergleichbare Elemente geben.)

Wenn dir der Unterschied zwischen | und <= völlig klar ist, ist das schon ein großer Schritt vorwärts. Ein weiteres instruktives Beispiel: Betrachte die Menge {1,2,3} und bilde ihre Potenzmenge, also die Menge, deren Elemente die Teilmengen von {1,2,3} sind. Dann sei R die Menge aller Paare (A,B) solcher Teilmengen, bei denen A eine Teilmenge von B ist.

Zum Beispiel gehört ({1},{1,3}) zu R, ({2},{1,3}) jedoch nicht, auch ({1,3},{2}) nicht. Also sind {2} und {1,3} unvergleichbar bezüglich R. Die Relation R ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, aber keine vollständige Ordnung.

Der Durchschnitt von X und Z spielt in der Tat die entscheidende Rolle hier.

Du kannst dir ja mal überlegen, welche Elemente davon zu (X\Y)\Z und welche davon zu X\(Y\Z) gehören.

Übrigens, bringt dich das Venn-Diagramm nicht auf die Idee, dass allgemein eine Inklusion zwischen (X\Y)\Z und X\(Y\Z) erfüllt ist?

Dann hast du also drei aufeinanderfolgende Zahlen,

k, k+1, k+2

Das Dreifache der mittleren ist 3(k+1)

Die Summe der beiden anderen ist k+k+2.

Und welche Beziehung soll nun zwischen 3(k+1) und k+k+2 gelten?

Stell' die Gleichung auf, die im Text beschrieben wird; sie ist ganz leicht zu lösen.

Ich empfände das als empfindlichen Verlust an Differenzierung unserer Sprache. Das "Du" ist reserviert für engere Bekanntschaften. Die Anrede "Du" für einen wildfremden erwachsenen Menschen steht für mich in der Nähe der Unverschämtheit.

Es gibt natürlich Bereiche, in denen die Anrede "Du" grundsätzlich üblich ist, z.B. in den meisten Internet-Foren; bestes Beispiel: gutefrage...

Wenn sich aber etwa in einem Supermarkt ein Angestellter herausnimmt, mich zu duzen, so verbitte ich mir das. In der Regel genügt das zum Umschalten auf das angebrachte "Sie". Wenn nicht, habe ich mir schon erlaubt, die Geschäftsleitung zu fragen, ob das in dem Betrieb jetzt die Regel sei.

Lass dich nicht in Zwänge versetzen von Religionsgemeinschaften, die Entscheidungen ihrer eigenen Konzile u.ä. für bindender halten als die Grundlage ihrer Religion.

Dass man über das Thema "Fasten" etwas differenzierter nachdenken sollte, entnimmt man z.B. in der Bibel der Stelle Markus 2, 18-20.

2 x 3,75 = 7,5.

Aber nun fehlt uns noch die Hälfte von 3,75.

Wenn es nur darum geht zu entscheiden, welcher der angegebenen Werte nur richtig sein kann, würde ich so vorgehen:

Die Hälfte von 3,75 ist jedenfalls kleiner als 2 (=Hälfte von 4). Also ist das Ergebnis kleiner als 7,5+2 = 9,5.

Wenn also einer der angebotenen Werte richtig ist, so kann es nur 9,375 sein.

(Ich glaube nicht, dass ihr im Kopf ausmultiplizieren oder in Brüche umwandeln sollt. Warum sonst die verschiedenen "Ergebnisangebote"?)

k' ist in dem Text nur ein Variablenname. Du könntest dafür auch l, m oder n (oder oder oder... ) schreiben.

Mir scheint, dir ist nicht klar, wie sich der Beweisaufbau ändert, wenn man statt gleichmäßiger Konvergenz beweisen soll, dass eine Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert.

Wenn eine Definition mit einem Allquantor ("für alle ε>0 ...") beginnt, beginnt der (direkte) Beweis mit: "Sei ε>0 (gegeben)".

Die Negation jener Definition beginnt aber mit einem Existenzquantor ("es gibt ein ε>0 ..."). Daher muss ein (direkter) Beweis dafür beginnen mit: "Ich setze (oder wähle) ε:= ... ").

Der erstgenannte Beweisbeginn käme z.B. für einen Beweis gleichmäßiger Konvergenz zum Zuge. Der zweite käme zum Zuge, wenn man zeigen will, dass keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Denn dazu muss man die definierende Bedingung fehlerfrei :-) negieren, und die Negation wird die Behauptung.

(Vielleicht weißt du das auch, aber deine Nachfrage zeigt, dass du mit den Quantoren noch auf Kriegsfuß stehst. Glaub' mir: Solange das so ist, bekommst du keinen Beweis in der Analysis hin! Du musst dir genau klarmachen, wie man eine komplett mit allen Quantoren geschriebene Behauptung beweisen muss und wie man eine solche mit Quantoren geschriebene Aussage negiert. Das muss man gnadenlos oft gemacht haben, damit es in Fleisch und Blut übergeht. Sonst läuft nix...)

Übrigens, dass der Aufschrieb der Beweise so beginnen muss, wie oben angegeben, heißt auf gar keinen Fall, dass man etwa die Beweise auch in dieser Reihenfolge finden müsse! Im Beweis scheinen gewisse Setzungen "vom Himmel zu fallen" ("Man wähle (setzte) δ:=..." ist typisch). Allermeistens kommt man beim Finden eines Analysis-Beweises erst ganz spät darauf, wie man das gewünschte δ zu setzen hat! Und doch ist die Setzung im Beweis bereits sehr früh gefordert.

x : 6,4 = 24 : 8 = 3 ...

Natürlich nicht a-b, sondern |a-b|.

(Wie oft das hier schon Thema war!!)

Also echt - wenn du keine Klammern setzt, kann man das ja kaum richtig lesen!

Du meinst wahrscheinlich x ^(1/a + 1/b) = x^ (1*b/a*b + 1*a/b*a) , oder?

Das hat aber mit dem x gar nichts zu tun, sondern die Exponenten sind einfach dieselben: Kürz doch mal in der längeren Klammer!

Der Term a * e^(-x) = a/(e^x) geht für x → unendlich gegen 0 (Den Grund wirst du wissen?!). Wohin geht also h(x) für x → unendlich ?

Die mmt.

(Dann ist man aber noch nicht fertig)

z.B. liegt ({0,2},{1}) in A, aber auch ({0},{1,2}) und (Ø,C).

Siehst du daran, wie der Laden läuft?

a b a⁽⁻¹⁾ = b gilt genau dann, wenn a und b miteinander vertauschbar sind (ab = ba).

Dazu muss nicht die Verknüpfung auf der ganzen Gruppe kommutativ sein, sondern es geht nur um die Vertauschbarkeit von a und b.

Wenn du drei verschiedene Punkte A, B, C hast, legen diese genau einen Kreis fest, auf dessen Peripherie sie liegen (der Umkreis des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C). Wenn dir nun 4 Punkte gegeben sind, wieso sollte der 4. Punkt auf dem eindeutig bestimmten Kreis durch die ersten drei Punkte gehen? Das wäre aber der einzige Kandidat für einen Kreis durch alle vier Punkte.

Deswegen ist es wohl keine gute Idee, nach einem solchen Kreis zu suchen.

Wie wäre es denn z.B., nach einem Punkt E zu suchen, so dass die Summe der Abstände

|AE|+|BE|+|CE|+|DE|

möglichst klein ist? Nur so als Gegenvorschlag...

Aber die Frage ist wieder eine typische Frage der Schulmathematik: Wenn es nämlich wirklich um eine solche Bushaltestelle ginge, so käme es doch ganz und gar darauf an, wie das Wegenetz und die Bebauung in dem Gebiet aussieht! Oder geht man davon aus, dass die Schüler von der Haltestelle per Luftlinie zur Schule gelangen?, dass die Busse einen als ideal berechneten Punkt überhaupt ansteuern können? usw. Da könnten auch Wasserwege stören...

Das ist genau die Art von "Realitätsnähe", die zurechtgelogen wird. Seid doch ehrlich, Lehrer und Schulbuchautoren, und stellt als Aufgabe, was ihr wirklich mathematisch meint!

Ich kann das jedenfalls beantworten, wenn die Anzahl der 4en vor der 1 am Ende ungerade ist.

Und mit 2 oder 5 statt der 4 könnte ich die Frage auch beantworten.

Was heißt schon "den" ?

Sicher gibt es hervorragenden Mathematik-Unterricht, aber vielleicht nur 10%? Bekannt ist, dass oft Frustration und Angst entsteht. Bekannt ist auch, dass die, die ihren Mathematik-Unterricht so interessant fanden, dass sie das Fach studieren wollten, häufig im Studium gar kein Bein auf die Erde bekommen. Häufig, aber nicht immer passiert das. Denn es gibt auch die positiven Gegenbeispiele, die den Übergang zum Studium erfolgreich geschafft haben und gern an ihren Mathematik-Unterricht zurückdenken. Leider bilden die nicht die Mehrheit, auch wenn meine obigen "10%?" auf keinen exakten Daten beruhen.

Was ich nur mit Sicherheit sagen kann, ist: Der Mathematik-Unterricht ist oft unehrlich. Wer das Ziel hat, dass sich gewisse Formeln "sicher einprägen" mögen und dafür absurd künstliche Beispiele "mit Realitätsbezug" zum Berechnen irgendwelcher (uninteressanter) Daten heranzieht, an die man durch eine jener Formeln herankommt, hat das Fach Mathematik malträtiert. Die Schüler spüren das intuitiv und - welch Wunder - entwickeln eine negative Haltung zu ihm.

Dass andere Gebiete alle möglichen mathematischen Formeln benötigen, ist zwar nicht falsch, aber kein Anlass dafür, den Charakter des Faches zu verraten. Denn Mathematik lehrt das Gewinnen von Einsichten durch genaues Schließen - und zwar auf dem Niveau jeder Altersstufe. Schon wer den Unterschied erlebt hat zwischen "das habe ich eingesehen" und "das habe ich auswendig gelernt", hat vom Unterricht mehr profitiert als einer, der jede gewünschte Formel auswendig dahersagen kann.

Das Glücksgefühl, etwas wirklich einzusehen, wird viel zu wenigen zuteil. Das braucht (individuell verschieden viel) Zeit, Geduld, Hinwendung; alles Dinge, die man im Schulunterricht sehr oft nur sonntags findet :-) Man sieht es übrigens an den Augen, unverkennbar. Und das gilt nicht etwa nur für die Schule.

Vergiss mal die Schule, sondern gehe jede einzelne Aufgabe, die du jede Woche bekommst, so an, als ginge es um dein Leben. Denke nie: "Da warte ich erst mal ab, irgendwann kommt das schon." Und sei hart im Nehmen. Nur wenige bekommen alles heraus, aber ohne das Ziel kommst du nicht hinein ins Studium.

Glaub' mir, ich übertreibe nicht. Da fängt was ganz Neues an. Wenn du im ersten Studienjahr die Einstellung dazu gewinnst, läuft das ganze Studium. Ich glaube, es gibt kein anderes Fach, in dem das so extrem der Fall ist.