Kann man den Mittelpunkt eines Unregelmäßigen Vierecks berechnen?
Hallo, ich habe eine Aufgabe, bei der ein unregelmäßiges Viereck abgebildet ist mit Punkt A,B,C,D. Diese Punkte stellen Schulen dar und ich soll herausfinden, wo am Besten eine neue Bushaltestelle sein soll
Meines erachtens muss ich einen Punkt herausfinden, der möglichst gleichweit von Allen Punkten ABCD entfernt ist.
Ich glaube nicht, dass ein Umkreismittelpunkt existiert... Habt ihr eine Ahnung, was ich machen kann? 😅
4 Antworten
Hmm. Also ich hätte jetzt nicht gesagt, dass der Punkt möglichst gleich weit von den Punkten entfernt sein sollte.
Beispiel:
Der Punkt M ist von den Punkten A, B, C, D jeweils gleich weit entfernt. Du würdest mir aber wahrscheinlich zustimmen, dass der Punkt S evtl. eine bessere Wahl für die Haltestelle ist, oder?
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Mögliche andere Ansätze:
- Ansatz 1a: Die Summe der Abstände des gesuchten Punkts M zu den Punkten A, B, C, D soll möglichst gering sein.
- Ansatz 1b: (Zu Ansatz 1a äquivalent...) Der Mittelwert der Abstände des gesuchten Punktes M zu den Punkten A, B, C, D soll möglichst gering sein.
- Ansatz 2: Der quadratische Mittelwert der Abstände des gesuchten Punktes M zu den Punkten A, B, C, D soll möglichst gering sein.
- Ansatz 3: Der maximale Abstand des gesuchten Punktes zu den Punkten A, B, C, D soll möglichst gering sein. [Also der Abstand zum entferntesten Punkt soll möglichst gering sein.]
- Ansatz 4: Verwende den Schwerpunkt der Punkte A, B, C, D als gesuchten Punkt. [Die Koordinaten des gesuchten Punktes M erhält man als arithmetischen Mittelwert der entsprechenden Koordinaten der Punkte A, B, C, D.]
Welchen dieser Ansätze möchtest du weiter verfolgen?
Willst du den gesuchten Punkt (in einem Koordinatensystem) berechnen? Oder soll der Punkt, wenn möglich, geometrisch durch Konstruktion mit Zirkel und Lineal gefunden werden? [Bemerkung: Berechnung würde mir selbst wohl einfacher Fallen, als eine geometrische Konstruktion zu finden.]
====== Ergänzung ======
Zu Ansatz 1:
Das Gleichungssystem allgemein zu lösen wird... nicht schön... wäre aber möglich.
Zu Ansatz 2:
Hier lässt sich das Gleichungssystem deutlich einfacher lösen und führt zum Punkt...
Dies zeigt auch, dass Ansatz 2 äquivalent zu Ansatz 4 ist.
====== Weitere Ergänzung ======
Ein weiterer Grund, warum Ansatz 2 (bzw. Ansatz 4) vielleicht besser ist als Ansatz 1...
Bei diesem Beispiel würde jeder der Punkte (beispielsweise M₁, M₂, M₃, M₄, M₅) auf der orangenen Strecke zwischen B und C Ansatz 1 erfüllen.
Aber nur M₃ erfüllt Ansatz 2 (bzw. Ansatz 4). Ansatz 2 führt zu einer eindeutigen Lösung.
[Ok. Diese Eindeutigkeit kann man vielleicht auch als Nachteil sehen.]
Hmm, auch das allgemein zu lösen ist gar nicht soo leicht. Rechnerisch einfacher wäre Ansatz 2. [Unter anderem deshalb hat sich in der Ausgleichsrechnung/Regressionsanalyse auch eher die Methode der kleinsten Quadrate als Standardverfahren durchgesetzt.]
Ich schreibe mal kurz etwas dazu auf und melde mich gleich nochmal.
Wenn du drei verschiedene Punkte A, B, C hast, legen diese genau einen Kreis fest, auf dessen Peripherie sie liegen (der Umkreis des Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C). Wenn dir nun 4 Punkte gegeben sind, wieso sollte der 4. Punkt auf dem eindeutig bestimmten Kreis durch die ersten drei Punkte gehen? Das wäre aber der einzige Kandidat für einen Kreis durch alle vier Punkte.
Deswegen ist es wohl keine gute Idee, nach einem solchen Kreis zu suchen.
Wie wäre es denn z.B., nach einem Punkt E zu suchen, so dass die Summe der Abstände
|AE|+|BE|+|CE|+|DE|
möglichst klein ist? Nur so als Gegenvorschlag...
Aber die Frage ist wieder eine typische Frage der Schulmathematik: Wenn es nämlich wirklich um eine solche Bushaltestelle ginge, so käme es doch ganz und gar darauf an, wie das Wegenetz und die Bebauung in dem Gebiet aussieht! Oder geht man davon aus, dass die Schüler von der Haltestelle per Luftlinie zur Schule gelangen?, dass die Busse einen als ideal berechneten Punkt überhaupt ansteuern können? usw. Da könnten auch Wasserwege stören...
Das ist genau die Art von "Realitätsnähe", die zurechtgelogen wird. Seid doch ehrlich, Lehrer und Schulbuchautoren, und stellt als Aufgabe, was ihr wirklich mathematisch meint!
Es gibt bei einem unregelmäßigen Viereck zwei Schwerpunkte, nämlich den Ecken- und den Flächenschwerpunkt. Der Eckenschwerpunkt dürfte das sein, was Du brauchst.
Vermutlich sollst du den Punkt bestimmen, bei dem die Summe der Entfernungen am kleinsten ist.
Ohman, ich habe gehofft es gäbe einen einfachen Weg😪 1a klingt ganz interessant. Wüsstest du, wie ich das berechnen könnte? :)