Könnt ihr mir bitte diese Frage beantworteb?
Die Seiten des abgebildeten Vierecks wurden gedrittelt und pro Seite wurde einer der Teilungspunkte wie abgebildet mit einem Punkt im Inneren verbunden. Dadurch wurde das Viereck in vier kleinere Vierecke zerlegt.
Die Zahlen in den Vierecken geben an, welchen Flächeninhalt das jeweilige Viereck hat. Welchen Flächeninhalt hat das graue Viereck?
Danke schon mal im Voraus
Ist der Punkt in der Mitte willkürlich gesetzt?
nein die Punkte dritteln die Seiten
Der eine in der Mitte meine ich, wo die ganzen Ecken hinführen.
ja der schon
4 Antworten
Je nachdem, ob du dich totrechnen sollst oder nicht:
Der bisherige bekannte Flächeninhalt ist 72 cm². Das würde bei einem Quadrat eine Kantenlänge von 8,485zerquetschte geben. Das noch dritteln? Eklig.
Was ist denn der nächthübsche Flächenwert?
Wäre für mich 81 cm². Das wären dann 9 cm pro Kantenlänge bei einem Quadrat lässt sich auch gut dritteln.
Damit würde die eingezeichnete Fläche 81 cm² - 72 cm² = 9 cm² betragen. Klingt für mich plausibel. Kommt halt auf die Klasse an.
Natürlich kannst du jetzt sagen, dass die äußere Form ja gar kein Quadrat ist, aber dann kann ich dir auch nicht mehr weiterhelfen, weil dann für mich keine sichtbaren Relationen zwischen Winkeln, Seiten und Fläche gegeben sind und die Form und damit auch sämtliche Maße zu 100% willkürlich sind und auch der Terminus mit dem "gedrittelt" keine Bedeutung mehr hat.
Ja da komm ich halt auch nicht mehr wirklich weiter, es ist ja wohl a kein Quadrat und b, der Punkt in der Mitte ist willkürlich, also da weiss ich ja nun nicht wie das gehen soll.
Im folgenden Bild ist die Situation nochmals dargestellt.
Die Eckpunkte P1,P4,P7,P10 des Vierecks sind unbekannt, ebenfalls PZ, das sind 10 Unbekannte. Alle anderen Punkte sind von den Eckpunkten abhängig, weil diese auf den entsprechenden Richtungsvektoren liegen.
Man kann sowohl die Fläche eines Dreiecks als auch eines beliebigen Vierecks aus den xy-Koordinaten der Eckpunkte berechnen. Das sind sehr einfache Formeln ähnlich einem Skalarprodukt. Ich will diese hier nicht wiederholen und setze einfach voraus:
A(Pa,Pb,Pc) = Fläche des Dreiecks mit den drei Eckpunkten Pa,Pb,Pc
A(Pa,Pb,Pc,Pd) = Fläche des Vierecks mit den vier Eckpunkten Pa,Pb,Pc,Pd
Nun kann man die 3 bekannten Flächen in Teilflächen zerlegen, z.B. Dreiecke und Vierecke, sodass bei der Summe wieder die Gesamtfläche entsteht.
Beispiel
- Das Viereck P3-P4-P5-PZ kann man aus den Dreiecken P3-P4-P5 und P3-P5-PZ zusammen setzen
- Das Viereck P1-P3-PZ-P11 kann man aus dem Dreieck P2-P3-PZ und dem Viereck P1-P2-PZ-P11 zusammen setzen
Jetzt kann man allerlei Gleichungen aufstellen, den Buchstaben "P" lasse ich überall weg.
A(1,3,11,Z)=36
A(1,3,Z) + A(1,11,Z)=36
A(1,2,Z) + A(2,3,Z) + A(12,1,Z) + A(11,12,Z)=36
A(2,3,Z)+ A(1,2,11,Z)=36
A(12,1,2,Z) + A(2,3,Z) + A(11,12,Z)= 36
A(3,4,5,Z)=16
A(3,4,Z)+A(4,5,Z)=16
A(3,4,5)+A(3,5,Z)=16
A(5,7,9,Z)=20
A(5,6,Z)+A(6,7,Z)+A(7,8,Z)+A(8,9,Z)=20
A(5,7,Z)+A(7,9,Z)=20
A(5,6,Z)+A(Z,6,7,9)=20
Das wären bereits 12 Gleichungen, es gibt aber sicher noch wesentlich mehr. Das einzige unschöne ist die Tatsache, dass die 10 Unbekannten als Produkte auftauchen. Eventuell nutzt an dieser Stelle, dass man die Koordinaten der Punkte P10,P11,P12,P1 ohne Beschränkung der Allgemeinheit mit y=0 annehmen kann bzw. P1 auf den Ursprung legt.
Das wäre mein Ansatz. Ob der zum Erfolg führt, keine Ahnung ...
Ich glaube, dass das die ausführlichste Antwort ist, die ich je gelesen habe.
Wenn du alle Eckpunkte mit dem Punkt verbindest, dann entstehen auf jeder Seite 2 Dreiecke. Diese haben beide die selbe Höhe. Die grundseize des einen Dreiecks ist immer doppelt so lang wie die des anderen. Wenn du darüber jetzt die Flächeninhalte der Teildreiecke berechnet, kommst du auf den Flächninhalt der beiden Teildreiecke das grauen Vierecks. Ich hoffe das konnte dir irgendwie helfen. Die Lösung möchte ich dir nicht verraten, da du sicher genau weisst, das das eine Aufgabe vom Känguruwettbewerb 2021 ist und technische Hilfsmittel nicht erlaubt sind.
Viele Grüße
Kann mir nicht vorstellen, dass es da eine konkrete Lösung geben soll, es sei denn, es fehlt noch eine Angabe.