Konvergenz zeigen?
Hallo, hat jemand eventuell einen Ansatz für die Aufgabe?
1 Antwort
Hallo,
verwende die Definition von Konvergenz, also dass für alle ε > 0 ein N ∈ ℕ existiert, sodass |a'ₙ - a| < ε für alle n ≥ N. Hier habe ich (a'ₙ) für die Folge der Mittelwerte genommen. Das a kann man in die Summe reinziehen und dann die Dreiecksungleichung anwenden. Zur Abschätzung teilt man die Summe in zwei Teile auf, sodass beim zweiten Teil die Summanden jeweils kleiner als ε/(2k) sind. Das minimale k wird dann so gewählt, dass er auch insgesamt kleiner als ε/2 ist.
Das ist übrigens ein bekannter Satz: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz
So: |1/m ∑ᵐ(aₙ - a)| und dann die Dreiecksungleichung.
Es gibt m mal den Summanden -a/m. Deshalb kann man das so schreiben.
Achso ok. Könntest du deine zweite Aussage eventuell nochmal kurz erläutern? Also was meinst du es gibt m mal den Summanden -a/m?
Hier noch im Detail: |1/m∑aₙ - a| = |1/m ∑aₙ - 1/m ⋅ m ⋅ a| = |1/m ((∑aₙ ) - m ⋅ a)|
= |1/m (∑aₙ - ∑ a)| = |1/m ∑(aₙ - a)|
Die 1/m werden ausgeklammert und dann schreibt man die zwei Summen als eine, weil beide bis m gehen.
Hey, danke erstmal für deine Hilfe. Mit der Def. der Konvergenz habe ich auch gearbeitet, jedoch verstehe ich nicht so ganz, wie Mann es in die Summe reinzieht und die Dreiecksungleichung anwendet.