Wurzelkriterium =1 bei Folge?
Hallo,
Folgendes Beispiel:
Mein Problem ist aber folgendes, ich hätte hier natürlich das Wurzelkriterium ausprobiert. Mit „limsup (k->infinity)“ kommt man hier dann ja auf Wurzelkriterium=1, und ich dachte dass man in diesem Fall keine Aussage über Konvergenz treffen kann, wieso macht es also Sinn sich überhaupt den Konvergenzradius 1/W anzuschauen?
2 Antworten
1. Fall 2k+1:
( |1 * z^k| )^(1/k) = |z|
Ist nun |z| < 1, dann liegt absolute Konvergenz vor.
2. Fall 2k:
( |1/k * z^k| )^(1/k) = k^(–1/k) * |z|
Der Ausdruck geht für k gegen Unendlich gegen |z|. Hier liegt also wieder für |z| < 1 absolute Konvegenz vor.
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Insgesamt konvergiert die Reihe also für |z| < 1 absolut.
Unten verlinke ich noch ein Video, in dem mit der Regel von L' Hospital gezeigt wird, dass x^x für x gegen Null gegen Eins konvergiert. Das ist äquivalent zu (1/k)^(1/k) mit k gegen Undendlich.
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Du mußt in die Betrachtung mit dem Wurzelkriterium auch z^k mit einbeziehen, nicht nur die c_k. Beachte nun was |z| < 1 für die Konvergenz bedeutet, insbesondere wie sich in diesem Fall z^k verhält.