Beweis: Umordnung absolut konvergenter Reihen wieder konvergent?
Hallo,
die Aufgabe 8.5 lautet:
Und hier ist mein Rechenweg:
Ist das ein Beweis, dass jede Umordnung absolut konvergenter Reihen wieder konvergent ist?
Oder muss man erst einmal beweisen, dass so ein N existiert (wenn ja, wie?)?
2 Antworten
Ja, das sollte passen, bzw du kannst die endliche Summe der Beträge der a_i noch nach oben durch die Reihe der Beträge abschätzen, und da die Reihe absolut Konvergent ist, hast du eine Obere Schranke, weswegen die Reihe Beträge der b_i konvergieren muss (da monoton und beschränkt)
Oder muss man erst einmal beweisen, dass so ein N existiert (wenn ja, wie?)?
Denke nicht zumindest sollte es klar sei, da du einfach die entsprechende Indizes der a_i betrachtest, und davon das Maximum nimmst (da es endlich viele sind, gibt es eins)
Mir erscheint das gar zu einfach. Ich bin auch skeptisch, ob es nur Permutationen der natürlichen Zahlen gibt, die sich unterhalb einer gewissen Schranke austoben. Wie wäre es z.B. mit einer Permutation, die alle Quadrate n^2 mit der dritten Potenz n^3 austauscht und den Rest stehen lässt? Aber sichere Auskunft kann ich dir leider nicht geben.