Grandis Reihe ist 1/2?
Ich habe mich neulich mit der Reihe von Guido Grandi beschäftigt. Die Cesaro-Summe(Durchschnitt) ist bei seiner Reihe 1-1+1-1+1-1+1... , 1/2 und laut Grandis Argumentation sei somit auch die Summe der Reihe 1/2. Aber ist es nicht so, dass man das Cesaro-Mittel nur bei konvergenten Reihen verwenden darf? Und diese Reihe ist weder konvergent noch divergent, also wäre das nicht legal oder?
Und wie sieht es mit dem Beweis aus:
1-1+1-1+1-1+1...=S
1-S=1-(1-1+1-1+1...)
1-S=1-1+1-1+1-1+1...
1-S=S
1=2S
1/2=S
Der Beweis dürfte doch eigentlich nicht legal sein, weil nach dem subtrahieren von -1 im Grunde 1-S=1-S steht. Das dürfte man doch nicht zu 1-S=S vereinfachen. Das wäre ja nicht mehr Äquivalent. Dann könnte ich doch in S einsetzen und erhielte: 1-(1-S)=S uws... Das hieße doch das alle Zahlen gleichwertig wären und das ist völliger schwachsinn. In S eingesetzt wäre:
S=2
2-1=2
1=2
S=3
3-1=3
2=3
1=2=3...
Habe ich etwas falsch verstanden, oder ist dieser Beweis an den Haaren herbeigezogen?
Lg Alex
3 Antworten
Dieser "Beweis" ist Humbug. Um den so zu führen nimmt man an, dass die Reihe (Summe soll von k=0 bis unendlich gehen) ∑ (-1)^k=1-1+1-1+... gegen S konvergiert. Auf Basis dieser Annahme bestimmt man dann einen Wert für S. Allerdings ist die Annahme, dass diese Reihe konvergiert schon falsch. Nach der Cauchy-Theorie konvergiert eine Reihe ∑ (-x)^k nur für Betrag(x)<1 und nicht für Betrag(x)=1.
Von daher ist das Cesaro Mittel eigentlich sowieso irrelevant. Da Grandis Reihe divergiert kann man mit dem Cesaro Mittel natürlich keine Aussage machen, wogegen sie konvergiert. Trotzdem kann man das Cesaro Mittel der Folge (-1)^k berechnen und erhält dann 0. Das sagt aber eigentlich nix über Grandis Reihe aus in diesem Fall.
Du kannst für jede konvergente Reihe das Cesaro-Mittel berechnen, aber nicht jede Folge, für die du das Cesaro-Mittel berechnen kannst, ist auch konvergent.
Und (-1)^n ist natürlich divergent. Divergent heißt zunächst einmal nur "nicht konvergent". Was du vermutlich meinst, ist, dass die Folge nicht bestimmt divergent ist. Das Cesaro-Mittel kannst du also bilden.
Der Beweis dagegen ist aber falsch, das hast du richtig erkannt. Umordnen und umklammern, so wie das hier passiert, darfst du eben nur bei (absolut) konvergenten Folgen. Das ist hier also nicht zulässig, Umordnungen führen zu einem neuen Ergebnis.
Nichtsdestotrotz lässt sich das Cesaro-Mittel der Folge (-1)^n korrekt als 1/2 bestimmen. Bei einer konvergenten Folge wäre dieses Cesaro-Mittel gleich der Summe der Folge, da die Folge divergiert, fallen die beiden eben nicht zusammen.
Wie das?
Betrachtet werde jeweils die Summe m = 1,...,n. Dann ist das Cesàro-Mittel
- für gerade n ( ∑ (-1)^m) / n = 0 / n = 0 und
- für ungerade n ( ∑ (-1)^m) / n = 1 / n;
keines der Mittel hat den Wert 1/2;
die Folge der Mittel konvergiert gegen 0 (und nicht gegen 1/2).
Nein, sondern das 1/n-fache derselben, wenn ich der Definition in
http://de.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro-Mittel
glauben darf.
Hier steht etwas zu der Frage: http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html
S heißt in dem folgenden Text A
Wie groß ist diese Summe? Mathematiker würden vielleicht sagen, dass man das nicht ausrechnen kann. Denn wenn wir das Aufsummieren an einer beliebigen Stelle unterbrechen, kommt entweder 0 oder 1 heraus. Das Problem lässt sich jedoch pragmatisch umschiffen, wie es Physiker gern tun: A kann 0 oder 1 sein, beide Varianten sind quasi gleich wahrscheinlich. Also ist die Summe der Mittelwert aus 0 und 1: A = 1/2.
Also ist das Cesaro-Mittel nicht gleich der Summe seiner Folge, wie von ihm angenommen, richtig?