Quotientenkriterium zum Beweis der Konvergenz einer Reihe?

Hey Leute,

ich soll mit dem Quotientenkriterium beweisen, dass die Reihe von n=1 bis unendlich: $\frac{n!}{n^{n+1}}$

konvergent ist.

Nun habe ich Abs(bn+1 / bn) berechnet und komme auf (n+1)/n, was ja größer als 1 ist. Somit wäre die Reihe jedoch divergent?!?
Laut Wertetabelle muss sie aber konvergent sein.
Wo liegt da mein Fehler?

Danke im voraus

Answer 1

[nobytree2]

$\left|\frac{\frac{\left(n+1\right)!}{\left(n+1\right)^{n+2}}}{\frac{n!}{n^{n+1}}}\right|=\left|\frac{\left(n+1\right)!\cdot n^{n+1}}{n!\cdot\left(n+1\right)^{n+2}}\right|=\ \left|\frac{\left(n+1\right)\cdot n^{n+1}}{\left(n+1\right)^{n+2}}\right|=\left|\frac{n^{n+1}}{\left(n+1\right)^{n+1}}\right|=\left|\frac{n}{n+1}\right|^{n+1}$ $für\ n\to\infty\ gilt:\ \left|\frac{n}{n+1}\right|^{n+1}=\left|\frac{n}{n+1}\right|^n=\left|\frac{1}{\frac{n+1}{n}}\right|^n=\left|\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\right|^n=\frac{1}{e}$ und 1/e < 1/2, also konvergent

Answer 2

[DerRoll]

Dein erster Bruch ist bereits falsch. Im "Zählernenner" muß (n+1)^(n+2) stehen. Damit kannst du nicht mehr so leicht kürzen, sondern mußt ein wenig mehr rechnen :-).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 3

[Solix99]

Im oberen Bruch fehlt ein n+1, es müsste (n+1)! / (n+1)^(n+2) sein statt

(n+1)! / n^(n+2)

Comments

[carl1509]

Oh natürlich danke ^^

Answer 4

[Mathetrainer]

Also, zunächst mal ohne Prüfung, ob deine Rechnung stimmt. Aber dein Ergebnis:

1/n läuft für n -> \infty gegen Null. Somit ist die Reihe konvergent gegen 1.

Comments

[DerRoll]

Sein (falsches) Ergebnis ist 1+1/n und das konvergiert von oben gegen 1.

[gfntom]

1/n läuft für n -> \infty gegen Null. Somit ist die Reihe konvergent gegen 1.

Quatsch. Nur weil der Quotient zweier benachbarter Gleider gegen 1 konvergiert, muss nicht die Reihen selbst gegen 1 konvergieren!

[nobytree2]

@gfntom

Und es muss einen Wert q kleiner 1 ergeben und nicht 1.

[gfntom]

@nobytree2

Als hinreichendes Kriterium: ja

Als notwendiges Kriterium: nein

Man sehe sich zum Beispiel die Reihe mit den konstanten Folgegliedern bn = k.

Hier ist b(n+1)/bn = k/k = 1, dennoch konvergiert die Folge gegen k.

[nobytree2]

@gfntom

Was hilft mir das notwendige Kriterium? Die Reihe 1/n hat den Quotienten 1 und konvergiert nicht.

[Mathetrainer]

@DerRoll

Das habe ich ja auch geschrieben, dass ich die Berechnung des Ergebnisses nicht kontroliiert habe. Aber leider habe ich mich vertan, denn @gfntom hat natürlich recht, wenn ein Glied einer Summe gegen 1 läuft, läuft noch lange nicht die gesamt Reihe gegen 1. Es kommt aber mit jedem steigenden n eine 1+ dazu, damit ist die Reihe nicht kovergent sondern divergent. Wenn sie nach Aufgabenstelung aber konvergent sien soll, dann ist carl1509s Ergebnis falsch.