Reihenkonvergenz richtig Überprüft?

Moin!

ich soll in einem Aufgabenzettel eine Reihe auf Konvergenz überprüfen. Meinen Weg seht ihr auf dem Bild.

Ich bin mir nicht sicher ob das so richtig ist, da es sehr leicht ist.. bestimmt steckt da viel mehr hinter doch ich habe einen sehr leichten Weg erkannt und frage mich nun ob das so geht. Außerdem habe ich die Reihe in einen Rechner im Internet eingegeben und der sagte mir sie sei divergent.. wobei ich sage sie sei konvergent..

Außerdem sind unsere letzten Themen im Studium uneigentliche Integrale und Taylorreihen/-poynome. Reihen und Folgen sind schon etwas her...

Danke im Voraus!

Answer 1

[Quotenbanane]

Immerhin haben wir was gemeinsam - ich bin in Sachen Konvergenz von Reihen auch nicht topfit drauf.

Aber nun zu deinem Beispiel....

So wie ich das sehe, hast du die Konvergenz nicht bewiesen. Dass die Folge c_k eine Nullfolge ist, ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Siehe Trivialkriterium für Reihen.

Z.B. ist...

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k}$

ebenfalls eine Nullfolge, aber divergent.

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Ich würde es hier entweder mit dem Wurzelkriterium oder mit dem Majoranten/Minorantenkriterium probieren.

$\lim_{\left\{k\rightarrow\infty\right\}}\sup\ ^k\sqrt{k^k\cdot e^{\left(-k^2\right)}}=\lim_{\left\{k\rightarrow\infty\right\}}\frac{k}{e^k}=0$

Nach dem Wurzelkriterium sollte damit die (absolute) Konvergenz bewiesen sein.

Oder sehe ich das falsch? Bin gerne für Korrekturen erfahrener Mitglieder offen.

Mein Wolfram-Rechner zeigt mir übrigens auch Konvergenz an.

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Comments

[xam193]

Danke für die Antwort! Hört sich gut an. Probiere morgen mal etwas herum mit den beiden Kriterien.

[xam193]

Also wurzel Kriterium hat geklappt solange ich nichts falsch gemacht habe😂

[Quotenbanane]

@xam193

Kommst du auf dasselbe Ergebnis wie ich?

Answer 2

[precursor]

Ich habe mal Wolfram Alpha damit gefüttert.

Ganz am Anfang erschien die Meldung "By the comparison test, the series converges."

Kurz danach wurde diese Meldung durch "By the ratio test, the series converges." ersetzt.

Also Wolfram Alpha scheint der Meinung zu sein, dass sowohl der comparison test als auch der ratio test die Konvergenz zeigt.

Ich habe mal geschaut, was das ganze auf Deutsch heißt.

"direct comparison test" --> Majorantenkriterium

ratio test --> D'Alembert's criterion --> Quotientenkriterium

https://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium

https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

Answer 3

[PWolff]

Unendlich mal null muss gesondert untersucht werden. Es ist nicht einfach 0. Bedenke, dass wir es hier mit Grenzwerten zu tun haben und unendlich und null erst nach dem Grenzübergang auftreten.

Übrigens, habt ihr tatsächlich Konvergenz so definiert? Dann wäre die harmonische Reihe, die nach oben unbeschränkt ist, also konvergent?

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Comments

[PWolff]

Tipp: e^(k^2) = (e^k)^k

Minoranten- oder Majorantenkriterium

[xam193]

@PWolff

Okay vielen Dank ich probiere es mal damit!

[xam193]

Hmmm wo du es sagst.. also so hatte ich es in Erinnerung... habe nochmal nachgeschaut und ja ich habe mich vertan... es ist umgekehrt. Wenn eine Reihe konvergiert dann ist die Folge eine Nullfolge. Keine Äquivalenz.. Danke!