Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen absolut/bedingt konvergent oder divergent sind?
brauche Hilfe
Aufgabe:
Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen absolut/bedingt konvergent oder divergent sind:
a)
b)
3 Antworten
a)
Hier kann das Leibniz-Kriterium verwendet werden. Du musst also sqrt(n)–sqrt(n+1) auf Monotonie und auf eine Nullfolge überprüfen (die Folge muss dabei immer das selbe Vorzeichen haben).
Sei m > n, dann gilt
sqrt(m)–sqrt(m+1) < sqrt(n)–sqrt(n+1) < 0
Es handelt sich zudem um eine Nullfolge, da
0 > sqrt(n)–sqrt(n+1) > 1–sqrt(1+1/n) —> 0
wobei sqrt(n) ≥ 1 dividiert wurde und wir mit dem Einschließungskriterium die konvergenz gegen Null argumentieren können.
Absolute Konvergenz liegt aber nicht vor (siehe Antowrt von DerRoll).
b)
Versuch das mal selbst.
a) Die Reihe ist eine Teleskopsumme. Ziehe sie auseinander, verwende eine Indexverschiebung und setze neu zusammen.
b) Verwende das Wurzelkriterium.
Die Reihe ist eine Teleskopsumme.
Vergiss das (–1)^n nicht. Die ersten Reihenglieder sehen so aus:
–1+√2, √2–√3, –√3+√4, ...
dort eleminiert sich also nichts - sogar verdoppelt (bis auf –1).
Achso... du meinst wahrscheinlich die absolute Reihe dazu. Das stimmt natürlich.
Die Reihe , denn wenn wir die Terme mit dem konjugierten Ausdruck multiplizieren, erhalten wir . Da dieser Term eine monoton absteigende Folge ist und gegen Null konvergiert, folgt daraus, dass die Reihe mit dem allgemeinen Term (nach dem Konvergenzkriterium für alternierende Reihen) konvergiert.
Das Leibniz-Kriterium sagt nichts über absolute Konvergenz.