Ist der Quotient zweier konvergenter Folgen eine konvergente Folgen?
1) steht oben 2) Ist die Summe zweier konvergenter Folgen eine konvergente Folge ? 3)Ist die Summe zweier divergenter Folgen eine divergente Folge ?
2 Antworten
1.) Nicht immer, wenn die Folge im Nenner gegen 0 konvergiert, kann der Quotient zweier konvergenter Folgen diveregent sein.
2.) Ja
3.) Nein, nicht generell. Nimm einfach zwei divergente Folgen, wo die zweite Folge die negative erste Folge ist also b(n) = -a(n) für alle n. Dann ist die Summenfolge die konstante Nullfolge
Nein zu 5.: Nimm eine divergente Folge und die konvergente konstante Folge 1 (alle Folgenelemente sind 1). Das Produkt ist divergent.
wo die zweite Folge die negative erste Folge ist also b(n) = -a(n) für alle
Selbst dann kann man nichts sagen, denn nur weil b(n)=-a(n), wissen wir ja noch lange nicht, was "unendlich" plus "minus unendlich" ist.
Könnte auch wieder "unendlich" sein ...
Aber das war keine Kritik, sondern nur eine Ergänzung, denn die Frage war ja, ob man das generell folgern darf und da ist die Antwort ganz richtig :"nein".
Wenn b(n) = - a(n) für alle n, dann ist die d eine Folge von lauter Nullen 0,0,0, ..... und die ist konvergent und hat den Grenzwert 0, auch dann wenn die Folge a(n) gegen plus unendlich geht und die Folge b(n) gegen minus unendlich oder umgekehrt
Für divergente Folgen gilt aber nicht das Kommutativgesetz.
Du darfst nicht annehmen, dass
lim n-->oo an+bn = (lim n-->oo an) + (lim n-->oo bn)
wenn auch nur eine der beiden Folgen divergiert
... diese Gewissheit hast du nur für konvergente Folgen.
Mehr wollte ich ja nicht ergänzen :).
1. i.A. nein. Beispiel: Sei an-> a, bn-> 0 dann ist an/bn ist sicherlich divergent. wenn du bn -> b ungleich 0 annehmen darfst, dann aber doch.
2. i.A. ja an -> a und bn -> b dann ist an+bn -> a + b
3. gleiche wie 2., nur mit negativem Vorzeichen.
Einspruch zu 3:
a(n) = n (divergent)
b(n) = -n (divergent)
a(n) + b(n) = 0 (konvergent)
Bzgl. der korrekten Schreibweise bin ich mir nicht sicher, ist schon ein wenig her.
Stimmt schon :).
aber streng genommen, kann man über die summen zweier unendlicher, divergenter reihen nichts sagen, weil wir weder summanden umstellen, noch klammern setzen dürfen,
also eher die antwort: man kann es nicht sagen.
Für diese Folge ist jedes Einzelglied definiert als c(n) = n + (-n) = 0
Vgl.: oben Kommentar FuHuFu
Um die Behauptung "Summe zweier divergenter Folgen ist divergent" zu widerlegen reicht ein Gegenbeispiel.
Umgekehrt reicht aber nicht ein Beispiel, um etwas zu beweisen.
(Sah bei dir auf den ersten Blick so aus bei an->a bn -> b, auf den zweiten Blick ist an die Folge und a ihr Grenzwert)
Umgekehrt reicht aber nicht ein Beispiel, um etwas zu beweisen.
Da hast du meinen Punkt nicht ganz verstanden. Ich widersprech dir ja garnicht.
Ich habe nur gesagt, dass wir überhaupt nichts über die Summe zweier divergenter Folgen aussagen können.
Also auch "oo - oo = ??"
Weil das Ergebnis davon abhängt, wie wir die Folgenglieder beider Folgen klammern:
1+2+3+ .. + (-1)+(-2)+(-3)+.. = (1-1) +(2-2) + ... = 0
oder so:
1+2+3+ .. + (-1)+(-2)+(-3)+.. =1+ (2-1) +(3-2) + ... = 1 + 1+1+ .. = oo
oder so:
1+2+3+ .. + (-1)+(-2)+(-3)+.. =-1+ (1-2) +(2-3) + ... =-1 -1 -1 .. = -oo
Tatsächlich kann (fast) ALLES passieren, wenn man divergente Folgen addiert.
Und das ist eben der Punkt. Daher war deine Antwort ja ganz richtig, divergente Folgen addieren führt nicht mit Sicherheit zu einer divergenten Folge.
Ich wollte nur diesen Aspekt ergänzen, dass alles passieren kann :).
4) Die summe aus einer konvergenten und einer divergenten folge ist eine divergente folge
5) das produkt aus einer konvergenten und einer divergenten Folge ist eine konvergente Folge
6) das produkt zweier konvergenter folgen ist immer eine konvergente folge