Weshalb ist eine streng wachsende Folge nicht divergent?
Ich verstehe was eine Folge ist und auch was divergenz bedeutet. Jedoch kenne ich "streng wachsend" nicht und habe darüber auch nichts gefunden (habe nur etwas zu streng monoton steigend gefunden. Ist dies dasselbe?). Kann mir dies jemand erklären, damit ich danach begründen kann weshalb eine streng wachsende Folge nicht divergent ist?
Vielen Dank
4 Antworten
Hallo,
streng monoton steigend oder streng wachsend bedeutet nichts anderes, als daß das nächste Folgenglied immer größer ist als das vorhergehende. Das bedeutet aber nicht, daß die Folge gegen unendlich gehen muß (also divergent ist). Der Betrag, um den die Folgenglieder wachsen, kann ja immer kleiner werden. In diesem Fall wird sich die Folge einem Grenzwert, einer oberen Schranke nähern, sie aber niemals erreichen. Dennoch wächst sie immer weiter, nur eben wird das Wachstum immer schwächer.
Es ist wie bei streng monoton fallenden Folgen, die sich einer unteren Schranke nähern. Stell Dir vor, Du beginnst bei irgendeiner positiven Zahl ungleich Null und halbierst sie immer wieder. Dann ist das nächste Folgenglied immer kleiner als das vorhergehende, niemals aber wird ein Folgenglied kleiner oder gleich Null werden.
Herzliche Grüße,
Willy
„Der Betrag, um den die Folgenglieder wachsen, kann ja immer kleiner
werden. In diesem Fall wird sich die Folge einem Grenzwert, einer oberen
Schranke nähern, sie aber niemals erreichen“
Bei der Folge √x für x→∞ wird die Differenz der Folgeglieder auch immer kleiner, ist aber trotzdem divergent.
ABER: Wenn eine wachsende Folge konvergiert, dann muß die Differenz zumvorgänger immer kleiner werden.
Die Frage die Du stellst: "Weshalb ist eine streng wachsende Folge nicht divergent? ", könnte zweideutig sein.
Korrekt müsste Die Frage lauten: "Weshalb ist eine streng wachsende Folge nicht immer (unbedingt) divergent?"
Die Folge:
1 + 2 + 3 +.... + n ist divergent
und die Folge:
(1 + 1/n)^n ist nicht divergent.
Wenn etwas wächst, wird es größer, also bedeutet streng wachsend nichts anderes als streng monoton steigend. Also a(n+1)>a(n)
Um die Antwort von Felix zu komplettieren - eine streng wachsende Folge kann divergent sein oder auch nicht.
Nur eine streng wachsende Folge mit oberer Schranke ist nie divergent.