Wann braucht man die quadratische Ergänzung beim Bestimmen der Nullstellen?

Du brauchst sie theoretisch gesehen gar nicht, weil alle anderen Lösungswege wie das Ausklammern, die pq-/abc-Formel und das direkte Wurzelziehen ausreichen.

Die quadratische Ergänzung ist auch ziemlich rechenaufwändig, weswegen man sie für die Nullstellenberechnung auch selten bis gar nicht einsetzt. Ich musste sie in der Schule nur können, um die Normalform in die Scheitelpunktform von quadr. Funktionen zu bringen. 

Du setzt die quadratische Ergänzung aber wenn dann ein, wenn die Form 

f(x) = ax² + bx + c 

gegeben ist. Du hast also einmal ein x², eine Zahl mit x und eine Zahl ohne x. Hier würdest du sonst immer die pq-/abc-Formel anwenden. 

Wie du die quadratische Ergänzung dann anwendest, kannst du z.B. hier sehen:

https://www.mathebibel.de/quadratische-ergaenzung#quadratische-gleichungen-loesen

wenn man weder die pq-formel, noch die mitternatsformelauswendig kann und wenn die gleichung die form a*x^2+b*x+c hat.

Bei quadratischen Funktionen ist das eine von mehreren Möglichkeiten, um die Nullstellen zu berechnen.

Aus mathematischer Sicht ist es egal, welchen Weg man nutzt, Hauptsache das Ergebnis ist richtig ;-)

Also wenn dir die Methode mit der quadratischen Ergänzung nicht gefällt, dann MUSST du sie gar nicht benutzen, sondern kannst - aus mathematischer Sicht - auch eine andere Methode wählen, z.B. pq-Formel, Mitternachtsformel, x ausklammern,... Hauptsache du kommst zum Richtigen Ergebnis.

Als Schüler MUSST du sie eigentlich nur dann benutzen, wenn dein Lehrer es verlangt, oder wenn das in der Aufgabe so gefordert wird, dass mit quadratischer Ergänzung gerechnet werden soll.

Wenn du x nicht ausklammern kannst, was bei Verschiebungen entlang der y-Achse auftritt. Dann ist es aber auch egal, ob PQ oder quadratische Ergänzung (sind ohnehin äquivalent).