was bringt die pq formel und was bringt die quadratische ergänzung? wie findet man die nullstellen?
frage steht oben. wobei sollte man sie benutzen ?
und wie findet man die nullstellen, ganz am anfang ? einfach einsetzen uns ausprobieren ?
5 Antworten
Die pq-Formel liefert die Nullstellen einer quadratischen Funktion.
Die quadratische Ergänzung (qE) ist das, was eigentlich hinter der pq-Formel steckt.
In der pq-Formel ist die qE bereits verarbeitet, sodass man sich nicht mehr darum zu kümmern braucht, wenn man nur am Ergebnis interessiert ist.
Und so hängen qE und pq-Formel zusammen:
Gegeben sei die quadratische Funktion f ( x ) = x ² + p x + q
Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f ( x )
Also:
x ² + p x + q = 0
<=> x ² + p x = - q
[Jetzt kommt die qE ins Spiel. Man möchte den Term auf der linken Seite so ergänzen, dass man ihn mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammenfassen kann. Diese lautet:
x ² + 2 y x + y ² = ( x + y ) ²
Man erkennt: Im linearen Glied 2 y x ist das y enthalten, dessen Quadrat man zu
x ² + 2 y x addieren muss, um den gewünschten Term x ² + 2 y x + y ² zu erhalten. Dieses Quadrat, also y ² , ist die "quadratische Ergänzung" des Terms x ² + 2 y x .
Zur Berechnung des y muss man offenbar das lineare Glied 2 y x durch 2 und durch die Wurzel aus dem quadratischen Glied ( also durch x ) dividieren: y = 2 y x / 2 x
Fasst man nun in unserer Gleichung
x ² + p x = - q
das p x als 2 y x auf, so erhält man den Term, der dem y entspricht, indem man p x durch 2 x dividiert. Die qE ist dann das Quadrat dieser Berechnung. Also:
qE = ( p x / 2 x ) ² = ( p / 2 ) ²
Dieser Term wird nun auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addiert:]
<=> x ² + p x + ( p / 2 ) ² = ( p / 2 ) ² - q
[Aufgrund der Berechnungsweise der quadratischen Ergänzung ist nun auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ein Term entstanden, der mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammengefasst werden kann:]
<=> ( x + ( p / 2 ) ) ² = ( p / 2 ) ² - q
[Zieht man nun die Wurzel:]
<=> x + ( p / 2 ) = +/- W ( ( p / 2 ) ² - q )
so ergeben sich die beiden Lösungen (Nullstellen):
x1,2 = - ( p / 2 ) +/- W ( ( p / 2 ) ² - q )
Diese Formel aber ist als "pq-Formel" bekannt.
Für mich die beste Antwort! Sie zeigt genau auf, dass die pq-Formel einem nur die quadratische Ergänzung ersparen soll.
Die pq-formel verwendet man zur Bestimmung von den Nullstellen bei quadratischen Funktionen. Wenn du z.B. eine Funktion gegeben hast : y=x²+3x-5, dann ist ja 3 das P und -5 das Q. Diese Werte setzt du dann einfach in die Formel ein und bestimmst dann die Nullstellen damit. Also die Nullstelle eins, indem du die Wurzel des Ergebnisses hinter dem Komma ziehst und dann zum Ergebnis vor dem Komma addierst. Nullstelle 2 kannst du bestimmen, indem du die Wurzel subtrahierst.
Du musst aber darauf achten, dass vor dem x² nie eine Zahl steht. Wenn du also die Formel y=3x² hast, musst du zuerst durch 3 teilen.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich und es klärt deine Frage.
Liebe Grüße :)
Mit der pq Formel erhälst du die 2 Nulstellen. (Gleichung in pq Formel einsetzen.
Nullstellen findest du mit der PQ-Formel?
Nullstellen mit pq und Scheitelpunktsform mit quadr. Ergänzung
ja, x1 und x2 das wären Nullstellen; aber das kannst du auch mit der pq machen
also ist eig beides dasselbe ? und was ist besser wann einzusetzen ?
bei der quadr. ergänzung kommen aber auch 2 werte raus ?
x² + 13x - 22 = 0 | +22
x² + 13x = 22 | 13:2=6,5; 6,5²=42,25; +42,25
x² + 13x + 42,25 = 64,25 | binomische
(x + 6,5)² = 64,25 | wurzel
x + 6,5 = 8,01576 | -6,5
(1)x = 1,5156
x + 6,5 = - 8,01576 | -6,5
(2)x = -14,5156
das wäre eine quadratische ergänzung, was sind dabei die beiden werte ? ( 1x und 2x )