Nullstellen berechnen mit Polynomdivision, pq-Formel?

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6 Antworten

Wenn du in einer Gleichung für Nullstellen nur x⁴ und x² vorfindest, substituierst du, d.h. du setzt z.B.         x² = z
Das bedeutet, dass du nach der Rechnung auch resubstituieren musst:
x =  ± √z              Das muss man im Auge behalten.

Los geht's erst mal mit der Substitution.
Die Polynomdivision kannst du in diesem Fall vergessen. Sie würde auch funktionieren, ist aber ungleich schwieriger, weil man zweimal dividieren müsste.                    

x⁴ - 20x² + 64 = 0   | x² = z
z² - 20z  + 64 = 0   | p,q-Formel           p = -20         q = 64

z₁,₂ = 10 ± 6
z₁   =  16
z₂   =   4                 | Resubstitution  x =  ± √z

x₁   =   4
x₂   = - 4
x₃   =   2
x₄   = - 2

Das sind 4 Lösungen. Wie schön! Meist fallen welche aus den reellen Zahlen heraus.

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Du solltest substituieren:

x⁴ - 20x² + 64 = 0

u := x²

u² - 20u + 64 = 0

pq-Formel:

            -20             -20
u₁₋₂ = - —— ± √( ( ——)² -  64)
              2                2

u₁ = 4
u₂ = 16

Rücksubstitution:

x² = 4 ⇔ x = ±2

x² = 16 ⇔ x = ±4

x₁ = -4
x₂ = -2
x₃ = 2
x₄ = 4

IL = {-4; -2; 2; 4}

Und schon hast du die Nullstellen. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Kommentar von henzy71
17.08.2016, 19:41

Ich wiederhole mich:
Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:47

Normalerweise benutzen wir sowieso überwiegend den Taschenrechner. Wir brauchen das alles nur im Abitur für den Taschenrechner freien Teil.

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Du vermischst da einiges.

Nichts von dem, was du anführst, ist eine gemischtquadratische Gleichung, die du mit der pq-Formel lösen könntest.

Aus der Ursprungsgleichung kommst du aber ganz leicht auf eine, in dem du
bei x^4 - 20x^2 + 64 = 0 z.B. u=x² substituierst.

Dann folgt: u² - 20 u + 64 = 0
und hier kannst du u mit der pq-Formel lösen, und dann zurücksubstituieren.

Auch die Polinomdivision ist nicht korrekt:

(x^4 - 20x^2 + 64) : (x-2) = x³+2x²-16x+32

allerdings hast du hiermit auch nicht viel gewonnen, da du erst recht keine quadratische (sondern eine kubische) Gleichung hast!

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

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Kommentar von Willibergi
17.08.2016, 19:51

Kurz: das Problem, das du beim Lösen der quadratischen Gelichung hattest, war, dass du keine quadratische Gleichung hattest!

Na zumindest eine biquadratische Gleichung war vorrätig. ^^

LG Willibergi

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Substitution (google)

u²-20u+64=0 mit pq-Formel lösen

und aus den Lösungen ggfs die Wurzel ziehen.

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Kommentar von henzy71
17.08.2016, 19:33

Alle schreien sie lauthals nach der PQ-Formel weil sie nicht in der Lage sind zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 64 und deren Summe -20 ist...... Das ist wirklich armselig.

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:35

Danke :)

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:46

Genau das dachte ich mir auch :D

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y = x²

dann hast du y² - 20y + 64 = 0

Das löst du und dann hast du alles, nur halt noch für positive und negative x betrachten, aber das ganze ist doch symmetrisch.

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:23

Ich muss das aber mit der pq-Formel machen :D

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:37

Ich muss es mit der pq-Formel machen, weils im Unterricht gerade darum geht. Es ist das Thema! Danke AnglerAut!:)

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Dein Ansatz war falsch.

Du sollestest folgendes machen:

x^4 - 20x² + 64 = 0

das ist nichts anderes als:

(x² - 16)*(x² - 4) = 0

also entweder x² - 16 = 0 oder x² - 4 = 0

x² = 16 ---> x = 4 und x = -4

x² =4 ---> x = 2 und x = -2

Lösungsmenge: {-4, -2, 2, 4}

Gruß

Henzy

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:29

Unserer Lehrer hat uns das so beigebracht mit dem Ausprobieren.. deswegen bin ich mir gerade seehr unsicher :o Aber danke jetzt kenn ich wenigstens die Nullstellen 😂

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:35

Ja wir arbeiten aber gerade an der Polynomdivision und pq-Formel. Damit sollen wirs auch machen und nicht anders..

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:39

Vielen Dank! Habe die Aufgabe vom Lehrer glaube ich einfach nur nicht verstanden, habe etliche Aufgaben und ich dachte ich muss alles mit der Polynomdivision machen.

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Kommentar von Ailxxn
17.08.2016, 19:44

bei dem "•" habe ich mich vertippt, habs geteilt :D

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