Konvergenzradius bestimmen?
Hallo,
kann mir jemand vorführen, wie man hier den Konvergenzradius der Potenzreihe im Bild bestimmen kann?
Laut Lösung sei dieser 1/sqrt(5).
Wenn ich das Wurzelkriterium anwende, komme ich nur auf die Abschätzung
sqrt[n]( |((2+i)^n–i) / i^n| * |z+i|^n)
≤ sqrt[n]( sqrt(5)^n + 1 ) |z+i|
—> sqrt(5) |z+i| < 1,
aber wie kann man zeigen, dass die Gleichung zutrifft?
Aber wieso ist 1/sqrt(5) der größt mögliche Konvergenzradius. Wegen der Ungleichung kann ja auch < wahr sein, wodurch der Konvergenzradius dann größer als 1/sqrt(5) wäre.
1 Antwort
Für den Konvergenzradius musst du den Limes superior für n gegen unendlich bestimmen. Du kannst den Bruch durch Wurzel(5) dividieren und weiter abschätzen
( (5^(n/2) + 1) / 5^(n/2) )^(1/n) =
( 1 + 5^(-n/2) )^(1/n) < = 1 + 5^(-n/2) / n —> 1
Damit ist der lim sup = Wurzel(5), der Konvergenzradius ist der Kehrwert davon..
Nein, es ist eine Berechnung des Limes. Die obere Schranke geht ja gegen 1, weswegen Wurzel(5) der Limes ist.
Oder kannst du bitte die komplette Rechnung zur Berechnung des Konvergenzradius einmal aufschreiben von Anfang. Wäre dir sehr dankbar.
Habe meine Frage mit Bild und Text ergänzt.
"Aber wieso ist 1/sqrt(5) der größt mögliche Konvergenzradius. Wegen der Ungleichung kann ja auch < wahr sein, wodurch der Konvergenzradius dann größer als 1/sqrt(5) wäre."
Das verstehe ich nicht
Wahrscheinlich reden wir aneinander vorbei. Schau dir bitte nochmal die Definition des Konvergenzradius an. Das z+i gehört gar nicht in dessen Bestimmung hinein. Der Konvergenzradius ist ein Supremum aller Radien, für die absolute Konvergenz vorliegt. Was auf dem Konvergenzkreis selbst passiert ist eine andere Sache.
Es ist mir nicht klar, aufgrund welcher Ungleichung du allenfalls einen grösseren Konvegenzradius als 1/Wurzel(5) siehst.
Hey,
habe noch eine Frage zur Differenzialrechnung.
Weißt du, warum die Ableitungsfunktion nur für ein offenes Teilintervall der Definitionsmenge der Ausgangsfunktion definiert ist?
Das wäre eine schöne neue Frage, die du stellen könntest! Ich tippe darauf, dass man den beidseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten bilden möchte.
Aber das ist doch nur eine Asbschätzung... wieso ist es auch wirklich der Radius?