Frage zu Mathematik Funktionen Additionstheoreme?
Hallo! Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der Gleichung:
sqrt(3) * sin(x/2) + 3 * cos(x/2) = 0 im Intervall [0 , 2pi)
die Lösung des Beispiels ist als "4pi/3" angegeben.
mir selbst kommt leider nur genau die hälfte raus.
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Meine Rechnung:
sqrt(3) * sin(x/2) + 3 * cos(x/2) = 0 .................../ - 3 * cos(x/2)
sqrt(3) * sin(x/2) = -3 * cos(x/2) ......................../ ^2
3 * sin^2(x/2) = 9 * cos^2(x/2) .........................../ : 3
sin^2(x/2) = 3 * cos^2(x/2) ................................./ sin^2(x) = 1 - cos^2(x)
1 - cos^2(x/2) = 3 * cos^2(x/2) .........................../ + cos^2(x/2)
1 = 4 * cos^2(x/2) ................................................/ : 4
1/4 = cos^2(x/2) ................................................../ sqrt()
1/2 = cos(x/2) ...................................................../ arccos()
arccos(1/2) = x/2 ................................................/ * 2
x = 2 * arccos(1/2)
2 * arccos(1/2) = 2pi/3 ; richtige Lösung is aber 4pi/3
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Ich habe leider keine Ahnung wo ich falsch abgebogen bin, daher wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand helfen würde.
Vielen Dank im Voraus!
LG Fisch
3 Antworten
1 / 4 = cos²(x / 2)
+-1 / 2 = cos(x / 2)
x / 2 = arccos(1 / 2) ∨ x / 2 = arccos(-1 / 2)
x / 2 = π / 3 ∨ x / 2 = (2 / 3) * π
x_1 = (2 / 3) * π ∨ x_2 = (4 / 3) * π
Wegen dem Quadrieren müssen die Lösungen kontrolliert werden. x_1 entfällt, nur x_2 passt zur Gleichung.
Man kann - und sollte - die beiden Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und testen. Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. x_1 = 2π/3 führt zum Widerspruch. Durch das Quadrieren entstehen Scheinlösungen. Einfaches Beispiel:
x = 7
quadrieren:
x² = 49
Wurzel ziehen:
x = +-√49 = +-7
-7 ist als Scheinlösung hinzugekommen
Habe meine beiden Ergebnisse nun als x in die ursprüngliche Funktion eingegeben und gesehen, dass sie bei x=4π/3 tatsächlich 0 ergibt, während bei x=2π/3 ein falsches Ergebnis rauskommt. Mit dieser Erklärung kann ich gut leben =) Vielen dank nochmals und schönen Abend.
sqrt(3) * sin(x/2) + 3 * cos(x/2) = 0 | -3 * cos(x/2)
sqrt(3) * sin(x/2) = -3 * cos(x/2) | /sqrt(3)
sin(x/2) = -sqrt(3)*cos(x/2)
sin(x/2)/cos(x/2)=-sqrt(3)
Jetzt die gute Nachricht aus Wikipedia:
"Wegen des Strahlensatzes ist die folgende Definition des Tangens wohldefiniert:"
und schon haben wir nur noch eine Winkelfunktion:
tan(x/2)=-sqrt(3)
tan(x/2)=-1,732050807568877
x/2=-π/3
x=-2π/3
x=--2,094395102393195, das sind -120°
Vielen Dank für die Antwort!
Mir ist anhand deines Beispiels aufgefallen, dass 3/sqrt(3) = sqrt(3).
Sehe ich zum ersten mal und das hilft ungemein dabei mir vorzustellen wie der Winkel bei diesem Wert aussieht.
Habe es kurz zuvor auch so wie du gerechnet, darf aber keinen Taschenrechner verwenden.
Somit war mir das Ergebnis mit 2*arctan(-3/sqrt(3) nicht geheuer. Aber wenn ich nun weiß, dass arctan(-squrt(3))=-60°, dann kann ich mir leichter vorstellen, wie ich diesen Wert in den Intervallen abziehe bzw. hinzurechne, um auf mein Endergebnis zu kommen.
Das war die letzte Info die mir noch zu dem Beispiel gefehlt hat. Und ich glaube, dass der Professor genau deswegen diese Werte gewählt hat.
Vielen Dank für deine Antwort und ich wünsche noch einen schönen Abend =)
Na klar x/Wurzel(x)=Wurzel(x).
'ne Vorstellungskraft von den Winkeln habe ich trotzdem nicht. Aber ich kenne die Formel und kan stur ausrechnen. Dass einige Wurzeln so toll mit den Winkelfunktionen zusammenpassen, nehme ich einfach so hin. Den Aufwand, das selbst herzuleiten und nachzuvollziehen, warum das so ist, spare ich mir. Bei 45° kann ich es noch einfach nachvollziehen, denn (Wurzel(2)/2)^2+(Wurzel(2)/2)^2=2/4+2/4=1 (Sinus und Cosinus sind bei 45° gleich groß und bilden jeweils die gleich langen Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks.)
Du kannst einfach sin(x/2)/(cos(x/2))=tan(x/2) ausnutzen und dann Substitution von u = x/2
Hallo! Würdest du mir das bitte nochmal kurz erklären?
Ich habe nun gerechnet:
sin(x/2) = 3 * cos(x/2) ............. / : cos(x/2)
tan(x/2) = 3 ............................... / arctan
x/2 = arctan(3) . ........................./ * 2
x = 2 * arctan(3) = ~4π/5 (liege damit schon wieder falsch und lagsam ists mir peinlich ^^)
Ich würde mich nochmals um eine kleine Hilfestellung freuen ;D Danke
ups, bitte ignorieren. hab mich verrechnet, weil ich mitten in der Rechnung eingestiegen bin. Danke nochmals für deine Antwort ;D
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe mir deine Rechnung angesehen und erkannt, wo mein Fehler liegt.
Noch eine kurze Frage: wieso ist x_2 die richtige Lösung?
x_1 müsste doch auch eine richtige Antwort sein, da 2π/3 im Definitionsbereich des Cosinus liegen, sowie 1/2 im Wertebereich. Auch im vorgegebenen Intervall liegt meine Lösung.