Winkel: arcsin und arccos?
Seitenverhältnisse werden bestimmt:
x: der cos oder sin eines Winkels
x wird benötigt für arcsin und arccos ( sin^-1 , cos^-1 )
Wie kommt man von x auf den Winkel?
Woher weiss man, dass zb x=0.5 π/6 und 30° bedeutet?
Welche Schritte erfolgen zwischen der Kenntnis von x und der Kenntnis des Winkels
3 Antworten
Man schlägt "rückwärts" in einer Tabelle für die Winkelfunktionen nach (oder "vorwärts" in einer Tabelle der Arcusfunktionen).
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Solche Tabellen kann man etwa auf diese Weise erstellen:
Für die Vielfachen von 90° bzw. pi/2 kennt man ja die Werte für Sinus und Cosinus.
Der Winkel eines gleichseitigen Dreiecks ist 60° bzw. pi/3; wenn man eine Höhe einzeichnet, erhält man ein rechtwinkliges Dreieck - daraus kann man Sinus und Cosinus für 30° und 60° berechnen.
Mit den speziellen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen kann man viele Beziehungen zwischen ihnen herleiten, z. B. die Additionstheoreme oder Formeln für halbe Winkel, oder auch Formeln für ein Drittel eines anderen Winkels (die sind dann aber deutlich komplizierter) usw.
Mit diesen Formeln kann man Tabellen beliebiger Feinheit aufstellen.
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Im Zeitalter preisgünstiger leistungsfähiger Rechenmaschinen verwendet man Verfahren der "numerischen Mathematik", um solche Werte zu erhalten, für die Praxis reicht das aus, aber wenn man exakte (rationale oder "algebraische") Vielfache von pi haben will, muss man dann doch über die Formeln gehen.
Man kann in die Tabelle gucken oder einen Taschenrechner benutzen.
Man kann den Arkussinus oder -kosinus auch grafisch konstruieren:
Zeiche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c. Im Beispiel arcsin(1/2) suchen wir einen Winkel Alpha, dessen Sinus 1/2 ist. Wegen a = c * sin(Alpha) ist a = c / 2. Ein solches Dreieck lässt sich konstruieren, dann kann man den Winkel abmessen.
Berechnung kann über Sonderformen von Dreiecken (gleichschenklig, gleichseitig) erfolgen.