wie kann man diese komplexe Zahl bestimmen?
1+e^(2pi*i/5)+e^(4pi*i/5)+e^(6pi*i/5)+e^(8pi * i /5)
2pi/5 ist z. B. 60°, 4pi/5=144° etc. ich darf nicht sin und cos verwenden...
Wie kann ich hier vorgehen, ich soll den Real- und Imaginärteil angeben.
2 Antworten
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Zeichne und addiere die Zahlen in der Gaußsche Zahlenebene (Zeigerdiagram) es ergibt sich ein Fünfeck
Das ist eine clevere Lösung. Sie hängt natürlich daran, dass 2*pi/5 der Zentralwinkel des Fünfecks ist.
Die Addition von komplexen Zahlen in Gaußschen Zahlen Ebene entspricht der Vektoraddition, die erste Zahl 1 entspricht dem Vektor vom Nullpunkt mit der Länge 1 nach rechts, an die Spitze dieses Vektors die nächste Zahl als Vektor mit der Länge 1 und dem Winkel 72 Grad, an die Spitze dieses Vektors wieder einen Vektor mit der Länge 1 und einem Winkel von 144 Grad zur Waagerechten und so weiter, die Spitze des letzten Vektors trifft genau den Schaft des ersten Vektors somit ist die Resultierende null und die Summe der komplexen Zahlen ebenfalls null
und das gilt natürlich für alle Polygone , ob sie nun zu regelmäßigen Formen gehören oder nicht ?
Wir können sagen:
Das kommt daher, dass wenn wir bei der EXP-Funktion x*i als Funktions-Argument nehmen mit der Formel der EXP-Funktion diese Gleichung folgt:
(siehe EXP-Funktion, Geometrische Summe, Reihenentwicklung und Beeweis der eulerschen Formel)
Dasraus ergibt sich für den Realteil und Imaginärteil:
Re = das untere
Im = das obere
Und in der Regel reicht es bis n = 3 zu gehen um ein Ergebnis auf rund 2 Nachkommastellen zu bekommen...
An e^(2pi*i/5) vorgemachte^(2pi * i / 5) = Re(e^(2pi * i / 5)) + Im(e^(2pi * i / 5)) * i
Re(e^(2pi * i / 5)) = (2pi/5)^{0}/0! - (2pi/5)^{2}/2! + (2pi/5)^{4}/4! - (2pi/5)^{6}/6! \pm \dots
\approx 1/1 - (2pi/5)^{2}/(1*2) + (2pi/5)^{4}/(1*2*3*4) - (2pi/5)^{6}/(1*2*3*4*5*6)
\approx 1/1 - (2pi/5)^{2}/(2) + (2pi/5)^{4}/(2*3*4) - (2pi/5)^{6}/(2*3*4*5*6)
\approx 0,31
Re(e^(2pi * i / 5)) = 0,31 (rund bzw. umgefähr)
Im(e^(2pi * i / 5)) = (2pi/5)/1! - (2pi/5)^{3}/3! + (2pi/5)^{5}/5! - (2pi/5)^{7}/7! \pm \dots
\approx (2pi/5)/1 - (2pi/5)^{3}/(1*2*3) + (2pi/5)^{5}/(1*2*3*4*5) - (2pi/5)^{7}/(1*2*3*4*5*6*7)
\approx 2*3,14/5 - (2*3,14/5)^{3}/(2*3) + (2*3,14/5)^{5}/(2*3*4*5) - (2*3,14/5)^{7}/(2*3*4*5*6*7)
\approx 0,95
Im(e^(2pi * i / 5)) = 0,95 (rund bzw. umgefähr)
Beweis:
Re² + Im² = 1
0,31² + 0,95² = 0,9986 (stimmt rund)
Danke, aber warum ist ein Fünfeck=0?