Integral sinus integrieren?
Ich möchte das Integral von den Grenzen 0 - 2pi und mit der Funktion sind(x) berechnen. Ich habe zunächst die Stammfunktion von sin berechnet und die ist -cos(x). Dann habe ich -cos(2pi) berechnet wo -1 heraus kam. Der Taschenrechner sagt aber 0. Was mach ich falsch?
4 Antworten
Das ist der feine Unterschied zwischen "der Fläche unter der Kurve" und dem integral:
Das Integral verrechnet "positive" Flächen mit "negativen" Flächen, was in deinem beispiel 0 liefert.
Was ich damit meine:
Sagen wir mal, du hast die Funktionen
f(x)=x und g(x)=-x
bildest du das Integral bspw von -1 bis 1, dann wird die Fläche links vom Ursprung als negativ gesehen (da hier f<g) und die Fläche rechts davon positiv gesehen (da g>f)
(kann auch umgekehrt sein, jedenfalls eins positiv und eins negativ).
und das integral addiert dann diese "gewichteten" Flächen zusammen. Da sie gleich groß sind, kommt 0 raus.
Und genau das passierte bei dir heir auch, nur mit einer etwas komplizierteren Funktion und ihrem Verlauf über und unter der x-Achse (ja, ein integral ist so gesehen ein integral zwischen einer funktion f(x) und der Funktion g(x)=0)
Um die alle Flächenzusammenzuasddieren, musst du erst rausfinden wo der grpah unter und über die x-achse geht (nullstellen bestimmen!)
und dann zwischen 2 benahcbarten nullstellen jeweils einzeln das integral berechnen.
Und am Shcluss alle gefundenen Flächen addieren :-)
Du hast über eine Nullstelle integriert ! Das darf man nicht !
f(x)=sin(x) Nullstellen bei x=0 und x=pi und x=2*pi
Wir haben hier eine "positive" Halbwelle und eine "negative" Halbwelle.
Du musst die Beträge dieser Halbwellen addieren !
Integrationsgrenzen von xu=0 und xo=pi (erste Halbwelle)
dann xu=pi und xo=2*pi (zweite Habwelle "negativ")
naja, du musst (-cos(2Pi))-(-cos(0)) berechnen, nicht nur -cos(2Pi).
dann kommt da auch 0 raus.
siehe Satz der integral und differentialrechnung:
ist f die funktion und F die stammfunktion davon dann ist.
Integral von a nach b von (f(x))=F(b)-F(a)
du musst noch -cos(0)=-1 abziehen! Ist ja ein bestimmtes Integral. -1 -(-1)=0