Konvergenzradius?

Wie würde ich den Konvergenzradius bestimmen und die Grenzwerte bestimmen?

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Im Allgemeinen berechnet man Konvergenzradien mit der Formel von Cauchy-Hadamard.

Hier könntest du das Quotientenkriterium verwenden. Bestimme den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Summanden. Für welche x konvergieren die Quotienten gegen einen Wert < 1?

G₁ kann man vereinfachen, indem man binomische Formeln anwendet und m: = 3n + 2 substituiert: $\sqrt{9n^2 + 6n} - 3n = \sqrt{(3n+2)^2 -4} - (3n + 2) + 2 = \sqrt{m^2 -4} - m + 2 = \frac{(\sqrt{m^2 - 4} - m)(\sqrt{m^2 - 4} + m)}{\sqrt{m^2 - 4} + m} + 2 = \frac{-4}{\sqrt{m^2-4}+m} + 2$

G₂ ist das fünffache der harmonischen Reihe, die bekanntlich divergiert.