Wie berechnet man den Konvergenzradius, wenn x^n im Nenner steht?
2 Antworten
Der Laufindex n kann nicht bei 0 anfangen, weil der Reihenterm n im Nenner enthält; aber das nur nebenbei.
Man kann das Ganze schnell auf gewöhnliche Potenzreihen zurückführen, indem man mal
setzt. Die Potenzreihe
hat bekanntlich den Konvergenzradius 1, und es gilt
Für alle diese x ist die Reihe also konvergent, und für die Randstellen gilt: Ist x=-3, so ist die Reihe konvergent (alternierende harmonische Reihe); ist x=-1 , so ist sie divergent (harmonische Reihe). Der Konvergenzbereich ist also die Menge aller reeller Zahlen ohne das Intervall (-3,-1] , Vereinigung zweier unendlicher Intervalle.
Deine Reihe ist keine Potenzreihe, sondern eine (spezielle Form von) Laurent-Reihe, weil (x+2) im Nenner steht, also Potenzen von (x+2) mit negativen Hochzahlen gebildet werden. Diese spielen eine fundamentale Rolle in der Funktionentheorie (Analyse von Funktionen C → C), während man über R nur einen "Abglanz" davon erkennt. Jedenfalls haben Laurentreihen i.a. keinen Kreis als Konvergenzbereich, sondern im Reellen eine Vereinigung zweier Intervalle, im Komplexen einen "Reifen", also Kreisring, bei dem allerdings der äußere Radius auch zu unendlich, der innere 0 entarten kann. Im Reellen "siehst" du dann als Konvergenzbereich statt eines solchen Reifens in der komplexen Zahlenebene nur dessen Durchschnitt mit der reellen Achse, daher Vereinigung zweier Intervalle - wie im obigen Beispiel, bei dem der äußere Radius tatsächlich unendlich ist (die beiden Intervalle sind unbeschränkt).
Warum ist das ein Problem? Für die Folge a_n=1/[n*(x+2)^n] muss eben ein q<1 existieren mit
|a_{n+1}/a_n| <= q < 1
Was hast du denn dastehen, wenn du a_n bzw. a_{n+1} einsetzt?
lim n->∞ ((n+1)*(x+2)^(n+2))/(n*(n+2)^n) = ((n+1)*(x+2))/n = x+2
und ab hier weiß ich nicht, was ich damit anfangen soll und wie es weiter geht
Erst mal die Betragsstriche drumrum machen, die hast du vergessen. Und dann soll das Ergebnis ja kleiner als 1 sein, also:
|x+2| < 1
ist der Bereich, wo die Reihe konvergiert.
dass das mit dieser Formel gehen muss weiß ich, aber ich komme trotzdem nicht auf das Ergebnis