Wie bestimmt man die Grenzwerte einer Funktion?

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3 Antworten

Bei der Grenzwertbestimmung bei gebrochen-rationalen Funktionen musst Du neben den Grenzwerten am "Randbereich" (also plus-/minus-Unendlich) auch die Grenzwerte an den Definitionslücken bestimmen.

Zur Bestimmung gegen unendlich setzt Du einfach große Werte ein (gedanklich oder mit dem Taschenrechner).

Bei gebrochenrationalen Funktionen gibt es folgende Varianten:
1. Zählergrad größer als Nennergrad: die Funktion läuft dann gegen unendlich (der Zähler wächst schneller an als der Nenner; dann kommt es nur noch auf die jeweiligen Vorzeichen von Zähler und Nenner an: sind beide Vorzeichen gleich, dann ist der Grenzwert plus-unendlich, sonst minus-unendlich)
2. Zählergrad kleiner als Nennergrad: die Funktion läuft gegen Null (der Nenner wächst schneller, dadurch wird der Bruch immer kleiner; hier gibt das Vorzeichen an, "aus welcher Richtung" es gegen Null geht (von oben ("+0") oder von unten ("-0"))
3. Zähergrad gleich Nennergrad: die Koeffizienten der höchsten Grade geben den Grenzwert an (Beispiel: f(x)=(2x³-x+1)/(-3x³+x²-125) => Grenzwert=-2/3)

Dann kommen noch die Grenzwerte Richtung Definitionslücke: Hier wird der Nenner gegen Null tendieren, d. h. der gesamte Bruch läuft (in der Regel) ins unendliche (hier kommts wieder auf die Vorzeichen an). Ausnahme: Erhälst Du beim Einsetzen der Definitionslücke 0/0, wird also auch der Zähler an der Definitionslücke Null, dann hast Du eine "behebbare Nullstelle", d. h. Du kannst "(x-Lücke)" wegkürzen und erhälst einen konkreten Grenzwert.
Beispiel:
f(x)=(x²-1)/(x-1)  => Lücke bei x=1, aber f(1)=0/0
Kürzen: (x²-1)=(x+1)(x-1) => f(x)=(x+1)(x-1)/(x-1)=x+1
=> lim f(x) x->1 = f(1)=2

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Kommentar von Rhenane
10.10.2016, 09:06

zu Deinen Aufgabe:
1.) f(x)=2/(x-2)-3

Läuft x->+/-Unendlich, dann wird vorne der Bruch Null (Zählergrad (=0) ist kleiner als Nennergrad (=1)), d. h. es bleibt -3 übrig. Das ist der Grenzwert im Unendlichen.
Für x->2 von rechts kommend läuft der Nenner gegen Null, bleibt aber positiv, daher ist der Grenzwert plus-unendlich.
Für x->2 von links kommend ist der Nenner negativ, also auch der gesamte Bruch, daher ist hier der Grenzwert minus-unendlich.

Bei der 2. Aufgabe soll das Wurzel(x) wohl hinter dem Bruch stehen.
Der Def. Bereich ist hier D=IR+, also die positiven reellen Zahlen, also sind hier die Randwerte Null und plus-unendlich.
Für x->0 ist die Wurzel=0 und der Bruch wird unendlich groß, also lim x->0 = plus-unendlich
Für x->unendlich wird der Bruch Null und es bleibt Wurzel(x) übrig. Wird x immer größer, wird auch die Wurzel immer größer, also
lim x->plus-unendlich = plus-unendlich

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Schau mal auf Youtube das Video für den Limes von thesimplemaths (oder wie die heißen) an

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Wichtig ist noch Grenzwert gegen was ? Gegen unendlich ?

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