Hilfe bei dieser Matheaufgabe (Grenzwerte)?
Aufgaben die ich nicht verstehe oder wie ich sie lösen soll:
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich der Funktion.
b) Wie verhält sich die Funktion für x -> ∞ und x -> ∞
Geben Sie die beiden Grenzwerte für x -> ∞ und x -> ∞ und die Gleichung der Asymptote g an, der sich die Funktion annähert.
c) Wie verhält sich die Funktion an ihrer Definitionslücke / an ihren Definitions- lücken? Geben Sie (falls vorhanden) die Gleichungen der senkrechten Asymp- toten an den Polstellen an.
d) Skizzieren Sie den Funktionsverlauf im Koordinatensystem.
Würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
4 Antworten
Der defintionsbereich ist ja der Bereich für den die Funktion definiert ist.
also welche x werte du einsetzen darfst.
bei der oberen also bei der a) hier siehst du ja einen Bruch. Ein Bruch ist für alle x definiert solange das unter dem Bruchstrich nicht 0 ergibt.
also ist der Df alle Zahlen außer 2. sonst wäre das ja 0.
b) wie verhält sich die Funktion gegen unendlich? Einfsch Limes gegen unendlich also für x was ganz ganz großes einsetzen und schauen was da für eine Zahl rauskommt.
beispielsweise kommt dann wenn du für x 999999999999999999999999 einsetzt = 5 raus (nur ein Beispiel). Das würde dann heißen. Für x gegen unendlich strebt f(x) gegen 5.
f f(x)=3/(x-2) nun sehr großen x-Wert einsetzen x=10000
f(10000)=3/(10000-2)=3*10^(-4)=0,0003 ist schon sehr klein
lim 3/(x-2) x →+ unendlich dann f(x)=0 die -2 ist unwichtig (unbedeutend)
lim 3/(x-2) → - unendlich dann f(x)=-0,0003 f(x)=0 auch hier die -2 unbedeutend
g lim 1/(x²-9) x → unendlich x² immer positiv auch hier ist di -9 unbedeutend
f(10000)=1/(10000²-9)=1,00*10^(-9) sehr sehr klein also f(x)=0 mit x → unendlich
h lim 2+1/x mit x → +umendlich f(x)=2+0=2
genau so mit x → - unendlich f(x)=2-0=2
Hinweis: Treten unbestimmte Ausdrücke auf,wie 0/0 und unendlich/ unendlich,
dann l´Hospital lim f(x)/g(x)=lim f´(x)/g´(x) anwenden,eventuell mehrmals !!
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jedem Buchladen bekommt.
Kapitel,rechnen mit Grenzwerten,unbestimmte Ausdrücke
das ist b)
Den Definitionsbreich kannst du selber bestimmen
f(x)=1/x mit x=0 ist f(0)=1/0 ist nicht definiert (ungültig)
f(x)=3/(x-2) 0=x-2 nicht definiert bei x=2 ergibt f(2)=3/0 ungültig
g 1/(x²-9) 0=x²-9 x1,2=+/-Wurzel(9)=+/-3 x1=3 und x2=-3 ungültig
h 2+1/x mit f(x)=1/x also x=0 ungültig nicht definiert
sonst sind alle Werte für x möglich - unendlich und + unendlich
c) senkrechte Asymptote ist eine Gerade,die senkrecht auf der x-Achse steht
Polstelle:siehe Mathe-Formelbuch,funktionen,Unstetigkeit
Da brauchst du nur abschreiben
Polstelle: f(xp)=u(xp)/v(xp) u(xp) ungleich NULL und v(xp)=0 → Pol
xp=x-Wert an der Polstelle
Polasymptote: x=xp senkrechte Gerade bei x=xp
Lücke: f(x)=(1-x³)/(1-x) mit x=1 ergibt f(1)=0/0 → Lücke
Sprung: f(x)= 1 für x<1 und 2 für x≧1
springt von Wert f(1)=1 sprungartig auf f(x>1)=2 Schaltvorgang
zu a)
Überlege, welche x-Werte du nicht verwenden kannst. Der Definitionsbereich ist dann die Menge der rationalen Zahlen mit Ausnahme dieser x-Werte.
zu b)
f: läuft gegen Null (hächster Zählergrad von x kleiner höchstem Nennergrad von x); y=0
g: wie f: y=0
h: läuft gegen 2, da 1/x gegen Null läuft. y=2
zu c)
Senkrechte Asymptoten sind die Stellen, in denen der Nenner Null wird, also
f: x=2
g: x=3 und x=-3
h: x=0
Verlauf berechnen, indem du dich einmal dem Pol von links und einmal von rechts näherst.
d) Schau dir die Graphen der Funktionen mit einem Plotprogramm an (z. B GEOGEBRA).
f: x → 3 / (x - 2)
zu a)
D = R\{2}
zu b)
lim [x → +-∞] 3 / (x - 2) = 0
Y_A = 0 (Asymptote)
zu c)
x = 2 (Polstelle)
lim [x → 2+] 3 / (x - 2) = +∞
lim [x → 2-] 3 / (x - 2) = -∞
zu d)
Wertetabelle erstellen, die Erkenntnisse aus a) - c) einfließen lassen und Verlauf der Funktion skizzieren.
Zu b) ist das Ergebnis von lim immer der Grenzwert oder die Asymptote?
Danke für deine Hilfe. :)
Der Limes ist der Grenzwert der Funktion für x → +-∞. Die Asymptote ist eine Linie (Gerade, Kurve), der sich der Graph der Funktion gegen unendlich annähert. Der Abstand zwischen Funktionswert und Asymptote geht für x → ∞ gegen 0.
Vielleicht wird der Unterschied und auch die Gemeinsamkeit deutlich, wenn man sich die Funktion f: x → (x³ - x² + 5)/(5x - 5) anschaut. Die Funktion lässt sich mittels Polynomdivision umschreiben zu f: x → (1/5)x² + 1/(x - 1) mit der Asymptote y_A = (1/5)x² und dem Grenzwert +∞ für x → +-∞.
Ist das jetzt a b c oder aufgabe d?