Hebbare Definitionslücke, Sinusfunktion 1/sin(x)?
Hallo liebe Community,
ich habe die Funktion f(x)=1/sin(x). Nun soll ich zum einen den links und rechtsseitigen Grenzwert untersuchen und zum anderen schauen, ob es eine hebbare Definitionslücke gibt. Hebbare Definitionslücken kannte ich nur von Ausdrücken wie (x^2-1^2)/(x+1) wo man was aus dem Nenner und Zähler weggkürzen konnte und so Polstellen eliminiert hat. Wie muss man bei so einem Term vorgehen, um zu schauen ob es hebbare Definitonslücken gibt?
2 Antworten
sin(k*pi) = 0 . Die Funktion ist deshalb für x= k * pi nicht definiert und hat dort Pole (geht gegen unendlich). Diese Definitionslücken sind auch nicht stetig behebbar.
Die Grenzwerte existieren nicht einmal, also können sie auch nicht übereinstimmen.
Was ist wenn sie übereinstimmen würden? Die selbe Funktion mit Betrag im Nenner hat beispielsweise einen Grenzwert laut Online Rechner
Welcher Online-Rechner gibt einen Grenzwert für 1/|sin(x)| aus, der nicht unendlich ist? Das könnte auch eine Art Rundungsfehler sein.
Wenn der Grenzwertrechner unendlich als Grenzwert angibt, dann verwendet er einen Bereich, der mehr umfasst als nur die reellen Zahlen. Das kann man machen, aber wir befinden uns dann nicht mehr im Bereich der reellwertigen Funktionen, wo der Grenzwert nicht existiert - schließlich ist unendlich keine reelle Zahl mehr.
Um Polstellen nicht mehr als Ausnahmestellen zu haben, die gesondert behandelt werden müssen, hat man die "meromorphen Funktionen" erfunden, für die unendlich ein zulässiger Funktionswert ist (hier unterscheidet man nicht zwischen +unendlich und -unendlich). In diesem Bereich existiert der Grenzwert und ist unendlich, und die Funktion ist dort so etwas Ähnliches wie stetig.
Was ist mit sin(x)/x da ist der Grenzwert ja 1. Könnte man da die Definitionslücke beheben? Also die Funktion so umschreiben, dass die Stelle x=0 definiert ist?
Bei x/sin(x) ist die Definitionslücke natürlich ebenfalls behebbar mit dem Wert 1/1 = 1.
Danke👍🏻 kann ich also sagen, dass die Definitionslücke behebbar ist, wenn an dieser Stelle der Grenzwert existiert ?
Das ist eine notwendige, aber keine hinreichende Voraussetzung.
Wenn wenigstens einer der Grenzwerte nicht existiert, ist die Definitionslücke nicht hebbar. Wenn beide existieren, dann ist aber die Definitionslücke hebar, wenn beide Grenzwerte übereinstimmen.
Ich würde mal sagen, wenn der linksseitige und techtsseitige limes gleich sind, ist es eine hebbare Definitionslücke. Zumindest wäre es weiterhin stetig.
Also kann man nicht sagen, dass die Fu ktion stetig ergänzt werden kann, wenn rechts und linksseitiger Grenzwert übereinstimmen?